请教一个几何问题

leaving · 发表于 2005-7-26 15:27

一个正n边形状，每个顶点上有一个点朝某方向移动，移动方向是：自己逆时针方向的下一个点的位置，求这些点移动轨迹的长度。（给出四个顶点情况的图形）

木直清风 · 发表于 2005-7-26 17:22

大家好啊

leaving · 发表于 2005-7-28 10:12

积不出来啊，谁来帮我积一下，感激不尽

haizhou · 发表于 2005-7-29 19:58

速度一样否？

haizhou · 发表于 2005-8-2 21:11

就等于每条的边的长度。

zhaolu48 · 发表于 2005-8-3 08:33

　　如果每个点是在一条旋转的射线上做匀速运动，而每条射线作的又是等角速旋转，那么每个点的运动轨迹都是一条等进螺线，或称阿基米德螺线。
　　这样的问题在一般的数学分析上都有。
　　螺线的方程是
　　ρ=ρ_0+aθ
从而轨迹长度为
　　∫(θ_0,θ)ρxdx=∫(θ_0,θ)(ρ_0+ax)xdx
　 =∫(θ_0,θ)[(ρ_0)xdx+ax^2dx
=[(1/2)(ρ_0)x^2+(1/3)ax^3]|(θ_0,θ)
　 =[(1/2)(ρ_0)θ^2+(1/3)aθ^3]-[(1/2)(ρ_0)(θ_0)^2+(1/3)a(θ_0)^3]

haizhou · 发表于 2005-8-3 20:15

错了，所在射线不仅仅是旋转运动。

zhaolu48 · 发表于 2005-8-4 08:32

仔细一想是我错了，
同意楼上在五楼时的结论。
但在补充一点，
每一点运行的轨迹长是这个正多边形的边长；
因为楼主说“求这些点移动轨迹的长度”，
那么这个长度应当是这个正n边形的周长。

电子恐龙 · 发表于 2005-8-4 19:50

照上所示，应该是4N

luyuanhong · 发表于 2009-4-30 17:58

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/30 05:59pm 第 1 次编辑]

此题解答如下（除了正方形以外，一般来说，各点移动轨迹的长度并不等于正 n 边形的边长）：

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