[求教] 无穷多 与 无穷多 一样多吗?

尚九天

    令 n = 1,2,3,…,∞ ,
于是,在数轴上：
               1). 对应于 1/n 的点有 无穷多,
               2). 对应于 1/n^2 的点也有 无穷多,
敬请赐教：
          这两个无穷多 一样多吗?
         ----------------------------------------------------------------
    假定有 无穷多只 鸡,
    每只鸡有 两条腿,
于是,
    无穷多只鸡 便有 无穷多只鸡腿,
敬请赐教：
          是 无穷多只“鸡”多呢? 还是无穷多只“鸡腿”多?

               

luyuanhong

从“非标准分析”的观点来看，如果 n 是一个无穷大正整数，那么 n^2 也是一个无穷大正整数，
1/n 和 1/n^2  都是无穷小量，它们都是可以比较大小的，有下列大小次序：
           n^2 ＞ n ＞ 1/n ＞ 1/n^2  。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/07 10:28am 第 1 次编辑]

在第1楼中，楼主问：
“假定有无穷多只鸡，每只鸡有两条腿，于是，无穷多只鸡便有无穷多只鸡腿，
敬请赐教：是无穷多只鸡多呢? 还是无穷多只鸡腿多?”
    这个问题，从“非标准分析”的观点来看，很容易回答。
设有 n 只鸡，其中 n 是一个无穷大正整数，因为每只鸡有2条腿，所以 n 只鸡共有 2n 条腿。
n 和 2n 都是无穷大量，但是无穷大量与无穷大量不一定相等，是可以比较大小的，像这里，就显然有 n＜2n 。
也就是说，当 n 是一个无穷大正整数时，鸡的只数 n 小于鸡腿的只数 2n ，鸡的只数 n 是鸡腿数 2n 的一半。

尚九天

    谢谢先生指教! 九天拜領。
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    康托尔(Georg Gantor)说：两个无穷集中的元素,只要能“一一对应”起来,则两集中的原素个数便一样多. 例如：
    自然数：           1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  …
                       ↓  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓
    平方数：           1,  4,  9,  16, 25, 36, 49, …
因为 平方数 与 自然数 能“一一对应”,所以 平方数的个数 与 自然数的个数 一样多.
    先生：
          您以为两者一样多吗?

姓毛的主席

既然
是无穷多了
那就没有可比性了
比谁多谁少已经无意义了
无穷多不是数
你怎么来比较?

数学爱好者A

下面引用由姓毛的主席在 2008/09/08 10:09am 发表的内容：
既然
是无穷多了
那就没有可比性了
比谁多谁少已经无意义了
...

难道只有实数才是数吗？
用一一对应的方式来比较难道不是一种比较方式吗？
你自己理解不了的东西就是没意义吗？

luyuanhong

对于第4楼中尚九天先生提出的问题，我的答复请看我在《数学中国》《基础数学》中发表的帖子：
怎样看罗宾逊非标准分析中的“无穷”和康托集合论中的“无穷”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4186

尚九天

下面引用由数学爱好者A在 2008/09/08 10:46am 发表的内容：
难道只有实数才是数吗？
用一一对应的方式来比较难道不是一种比较方式吗？
你自己理解不了的东西就是没意义吗？

数A象只蚊子,
见谁咬谁.
没毛的地方咬,
有毛的地方也咬,
               ---- 因为嘴长.

大傻8888888

顽石先生可以看看luyuanhong先生的帖子！

顽石

大傻8888888 先生：早上好！   
    我注意了luyuanhong先生的帖子。但是还是我赞成：无穷大、无穷小是一种趋势的说法，是永远不会结束的过程。两个无穷集的数量比较，采用一一对应的方法，其实质，是用全体自然数一一编号，就如同自己与自己比较数量。全体自然数当然都一样大，一一对应当然也永远不会结束。因此，只能承认它们各自的数量全都相同。
    尚九天先生的鸡和鸡腿的数量问题，如果把鸡一分为二，就如同左、右两鸡腿的问题，也如同自然数的奇数、偶数问题，将偶数用自然数一一编号：第1个偶数、第2个偶数、第3个偶数、第4个偶数、第5个偶数、……等。将奇数用自然数一一编号也是一样。一方面，自然数与全体偶数一样多，与全体奇数也一样多；另一方面，两者合起来就是全体自然数。全体自然数皆与自身数量比较，当然就都一样多。都没有什么问题。这就是无穷大算术的局部等于全部的问题。