引入“外乘积”，“外微分”等概念后，会引起一些积分表达式的混乱。

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luyuanhong

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6楼的解释很精彩！把dxdy看成dx和dy的普通乘积看来是不大合适的，实质上应该是外乘积。但不知一般的考试中，把二重积分和对坐标的曲面积分中的dxdy写成dydx是否合适呢？

luyuanhong

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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/24 00:32pm 第 5 次编辑]

    你这个问题提得很好。其实，我自己也发现了其中的问题。
    最近，我看了一本书《高观点下的初等数学（第二卷）几何》（菲利克斯·克莱因著）。
    在这本书的61页上，克莱因说到：“两极性矢量的外积常被简单地定义为一个矢量，…，并得到下面的法则：
矢量 1 和矢量 2 的外积是一个长为 r1 r2│sinφ│的矢量 3 ，它垂直于矢量 1 和矢量 2 所在的平面，
其正向使矢量 1，2，3 的相互位置对应于正 X，Y，Z 轴的相互位置。”
    这是目前数学教科书中常见的对两个向量（矢量）外积的定义，但是，克莱因显然并不赞成这种定义。
    克莱因说到，这个问题，已经在数学界引起了很大的争论：“为什么这样牢牢地使用这种矢量分析的语言，
我不能充分理解，…，无论如何，这些矢量运算的名称因普遍容忍而一直使用至今。但是，在选择这些运算，
特别是各种乘法运算的确定符号上，已产生了很大的意见分歧。…，尽管做了一切努力，仍然存在很大的不一致。
在最近的罗马数学大会上已成立了一个国际委员会，要求它提出统一的符号，至于委员会成员之间能否取得任何一致，
大量的数学家是否能接受委员会的建议，只能由时间来证明。”
    克莱因还说到：“罗马建立的矢量符号统一委员会正如预料没有取得丝毫成功。在随后的剑桥大会（1912年）上，
委员会成员不得不对没有完成的任务作出解释，并要求将时间延长到下一次大会。那一次大会本应于1916年在
斯德哥尔摩召开，但因战争而取消。单位及符号委员会也遭受了同样的命运。它在1921年公布了矢量建议符号，
立刻招致各方面的最强烈的反对。”
    可见，这是一个在数学界争论已久的老问题，这个问题到现在仍然没有得到解决。
    克莱因本人的看法，显然是不赞成把两个向量（矢量）的外积，看作是一个与它们垂直的向量（矢量）的，
因为这种定义，无法推广到多个向量（矢量）的外乘积。
    我觉得他的这种看法，还是很有道理的。所以，我现在的想法是：
两个向量的外乘积，可以看作是一个“有方向的面积元”，它的模，就是由这两个向量张成的平行四边形的面积。
三个向量的外乘积，可以看作是一个“有方向的体积元”，它的模，就是由这三个向量张成的平行六面体的体积。
    这种定义，可以推广到任何 n 个向量的外乘积，不会产生矛盾，应该说是比较妥当的。
    但是，这种“有方向的 n 维积元”到底是什么意思？ 肯定又会引起争论，它能否被人接受，我就不知道了。