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摘要：“3N+1问题”主要困难在T运算中所表现的复杂性和不规则性，50年来，一直未有突破性进展，匈牙利数学家（Erdos.p）认为：“数学还没有发展到足以解决这样的问题”，本文是一个探讨，但也希望它是这一世界著名难题的论证。起个抛砖引玉的作用吧！愿难题被中国人破解，为祖国争添荣誉，向2008奥运献礼！
关键词：唯一性、多元性、连贯性、逆求法。
Approach on the problem of 3N+1
Li Zhao Fa Zhang YouXin Liao ni
（The education department of Xinning,Shaoyang Hunnan 422000）
Abstract:The main difficulty is the pnblem of 3N+1’s complesity and irrdgulanty in the progress for fifty years,The maths of Hungary,Erdosp thonghr,”Math has not hroun to settle this proboem,”Im this an intermational rop pnblen’s demonstration,It’s just thmu a sprat to catch a whale! It will dismiss the problem by Chinese,add honour for mother land,present agift for the 2008 olympis
Key Word: solitanty, polybasic, continuity, the way of traitor.
对任何一个正整数N，都可依下列二规则之一将它变换成另一正整数N1：
规则（1）：当N为奇数时，N1=3N+1；
规则（2）：当N为偶数时，N1=N/2；
以后将这种变换称为“T变换”，写成
N1=T（N）
例如，对正整数6，7，8我们有
N=6：N1=T（6）=6/2=3，N2=T（3）=3×3+1=10，N3=T（10）=10/2=5，N4=T（5）=5×3+1=16，N5=T（16）=16/2=8，N6=T（8）=8/2=4，N1=T（4）=4/2=2，N1=T（2）=2/2=1，正整数6经过8个T变换达到N1=1，我们写成T(8)(6)=1。
N=7: N1=T(7)=73+1=22,N2=T(22)=22/2=11,N3=T(11)=11×3+1=34, N4=T(34)=34/2=17, N5=T(17)=17×3+1=52,
N6=T(52)=52/2=26,N7=T(26)=26/2=13,N8=T(13)=13×3+1=40,
N9=T(40)=40/2=20,N10=T(20)=20/2=10,N11=T(10)=10/2=5,
N12=T(5) 3+1=16,N13=T(16)=16/2=8,N14=T(8)=8/2=4,
N15=T(4)=4/2=2,N1=T(2)=2/2=1,于是有T(16)(7)=1;
N=8：N1=T（8）=8/2=4，N2=T（4）=4/2=2，N1=T（2）=2/2=1，于是有T(3)(8)=1。
以后我们将把这样一串T变换叫做“T运算”：
N1，N2，……Ni，Ni+1,……,NR-1
N N’=1
其中N1=T（N），N2=T（N1），……，Ni+1=T(Ni)……，NR-1=T（NR-2），N1=T（NR-1）=1，N1，N2，……NR-1称为“中间结果”，N1=1可写成T（R）(N)=1。
关于“3N+1问题”的猜想就是：对于任何正整数N都有与之相应的正整数R使得T（R）（N）=1。
这一猜想，在20世纪50年代传播开来，据说，柯拉茨（CollaTz,L）在1950年一次国际数学家大会上谈起过，因而称为“柯拉茨问题”，1952年英国数学家施威茨（Thwaites,B）重新发现，日本东京大学的米田信夫（Yoneda,N）对240≈1.1×1012以下的正整数作了检验。1992年利湿斯（Leavans,G,T）和弗穆兰（Vermeulan,M）对6.5×1013以下的正整数作了检验，均未发现反例，主要困难在T运算中所表现出的复杂性和不规则性。50年来，一直未有突破性进展，匈牙利数学家爱尔特希（Erdos,P）认为：“数学还没有发展到足以解决这样的问题”，有人提议将3N+1问题列为下一个费马（大定理）问题。本文是我对这一问题的一个探讨，请各位专家、学者给予批评、指正。
任一正整数N都可写成：
N=2nPm,n≥0,m≥0,P是非1的奇数。
当n=m=0时，N=1；当n≥1，m=0时，N=2n;当n=0,m≥1时，N=P；当n≥1，m≥1时，N=2nP。
当N=1时，我们从N1=T(1)=1×3+1=4，N2=T（4）=4/2=2，N1=T(2)=2/2=1，即知T(3)(1)=1;
当N=2n时，显然有T(n )（N）=1；
当N=2np,(n≥1，P是非1的奇数)时，我们将有Nn=P，归结为N=p的情形。
当N=p（p是非1的奇数）时，我们有N1=T（p）=3p+1，这是一个偶数，可说为2g,其中g可能含有2的因数，g=2n-1r,n≥1，r是奇数，因此
3p+1=2g=2e(n)r
其中p可能含有质因数3，但正整数3p+1不可能被3整除，所以2nr也不可能被3整除，由于2n不可能被3整除，所以r不可能被3整除，所以r是一个不含因数3的奇数。这里我们看到：在开头几个中间结果里可能有3或3的其它倍数出现，只要经过一次规则（1）的变换，所有的奇数都将是不含因数3的。在任何一次T运算中，要么是根本没有一个中间结果出现为非1的奇数（例如N=2n便是）；要么至少有一个中间结果是一个非1的奇数，像N=7那样，当然在中间结果中所有非1的奇数都不会含有因数3，例如，在N=7的那次T运算中，N=7，N2=11，N4=17，N7=13，N11=5，它们全是不含因数3的奇数。这些奇数并不是杂乱无章的出现的。如果把每次T运算中所出现的奇数依其出现的先后顺序记为M1，M2……，Mi，Mi+1……，那么，就可用“→”将它们连接起来。
M1→M2→……Mi→Mi+1
其中每个“→”都是由若干T变换组成的，可以认为是T运算中的一步，“→”的头、尾都是不含因数3的奇数，“→”所指向的奇数是所从出发的奇数给过若干变换所得的结果。发出→的那个奇数是→所指奇数的“原数” N。由于每个T变换的结果都是唯一的，所以→所指向的奇数必是唯一的，在T运算中一定达到N1=1的结果；但是作为接受→的奇数其原数并非唯一的，存在着无穷多个奇数会发出→指向某个奇数：比方说Mi+1=11，除了Mi=7之外，我们可以找出另外的奇数。找的方法是：先将数11逐次加倍得一数列：22，44，88，176，352，704，1408，2816，5632，11264，22528……，再将各数都减去1，得一数列：
21，43，87，175，351，703，1407，2815，5631，11263，22127……，然后找出其中仅含一个质因数3的数，再除以3，得出一数列： 表示不含因数3的数，与含有因数9的数，都将弃去不要。
7，29，469，1877……
这个数列中的数每一个都将变到11，原数N的个数是无穷多的，我们称之为Mi+1=11的原数Mi的多元性。找出这些原数的方法叫做“逆求法”。
上述方法对数N1=1也适用：作为数1的原数的有1，5（十以内），85（百以内），341（千以内），5461（万以内），21845（十万以内），34525（百万以内），1398101（千万以内）……。如果：
（把数1称为第一层次，5，85，341，……便是第二层次，13、53，1813，113，3637，227……属于第三层次（见图表）：
Mn→∞……
Mn 17 227 1109… 35 565 2261… 291157 4549 18197，301 2417 4835 605 4849 38797
M4 13 53 853 113 1813 7253 227 3637 14549
M2 5 85 341
M1 1
[符号说明]
(N→结果，箭头头所指的奇数是尾上N奇数经过（3N+1）/2 e(n)一步运算的结果。)
这种层次可以加高，为数无穷。T变换时，(3N+1)/2 e(n) =Nn-1的一步运算。每走过一步，层次就会降低一层，向第一层次N1=1靠拢一层。如此看来，奇数M1，M2，……Mi，Mi+1……，是形成一个数列的。这些数列为数无穷，但都是通向第一层次N1=1的，任何一个不含因数3的奇数都不是孤立存在的，是从某个正整数在T运算下得出来的，因此必在某个数列之中，有其确定的位置。它一定按该数列的走向从一个层次走向下一层次，步步为营地达到N1=1，我们将把这种“不含因数3的奇数”所构成的有序数集叫做一个“数体”，它像一棵从数1生成的大树(分支),枝繁叶茂，层次分明地向太空蔓延开去，包括所有的不含因数3的奇数。我们可以论证如次。
假说有某个正整数1432157，它是不含因数3的奇数，要证明它在我们的数集内，只须找出某个正整数，证明它可以在T变换下变成这个数就可以了，我们利用“逆求法”：
先将数1432157逐次加倍，得一数列：
2864314，5748628，11457256，22914512，45829024，91658048，……将各数都减1得一数列：
2864313，5728627，11457255，22914511，45829023，91658047……
然后找出其中仅含一个质因数3的数再除以3，得出一数列：
3819085，15276341，……
这些正整数都可变到1432157，这说明，这个数是在我们的数集之中的（符合我们关于数体的定义），也就是我们的数体不会漏掉任何一个不含因数3的奇数（包括N1=1在内）。
这样看来，用计算机对大量正整数进行检验，想通过发现反例的办法来解决问题的方法是否有效是值得怀疑的。我们应该努力面对T运算中所遇到复杂性、不规则性的事实，从中找出一些规则，使复杂的变为不复杂，不规则变成有规则，才能有所突破。从我们已经建立起来的数体的特点、规律来看，任何正整数在T运算下是一定会达到N1=1的。
我们建立的数体是依据（3 N n +1）/2 e(n)=N n-1的三个基本特性：（即结果的唯一性，原数N的多元性，奇数→奇数的连贯性），抓住其中连贯性这一关键，作为数体的纽带，产生数列。结果的唯一性，使数体必然下层少，上层多（这里指数字个数的多和少），原数N的多元性使数体必然分支、分层。连贯性把分散在正整数中的“不含因数3的奇数”形成数列，成为一个有序的数集（我们称其为“数体”，其实数学界没有这个名词），这个“数体”从1开始，通过“逆求法”可以向上无限增层，增层可以看出，是无限个无穷数列共着一个首项1。在T变换时由上而下，它们的末项都是1。所以“数体”可以向世界数学界宣布，50多年“3N+1问题”只见树木，不见森林的尴尬，从此结束。
我们认为：不论什么正整数N，它在T变换中，一定会落在“数体”中某个位置上（不管它在哪个层次，哪个数列中），只要把T变换进行到底，就肯定会归结到N1=1，一定会得出一个正整数R在使得：
T(R)(N)=1
当N为奇数时：R=（1+e e(n)）n+（1+e e(n)）n-1……+（1+e e(n)）2+(1+e e(n))1
当N为偶数时：比上式多一个e e(n)变成奇数后，即与上式全同。
说明(1)e e(n)表示由偶数变奇数中T变换的个数。
(2)“1”表示（3N+1）的一个变换。
（3）n表示上一层次n+1变到n层次中的T变换个数。n-1表示由n→n-1层次中的T变换个数。
参考文献：中国数学辞海第一册，世界数学著明难题“3X+1问题”。
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发表于 2008-10-1 13:21
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