[求助]关于微积分中的概念理解,还望各位莫笑

nnzgyh123

大家好,本不应在高手众多的贵论坛发表或许众位看来颇肤浅的问题,但因四处求教无果,所以只能发在贵论坛上以寻高手,望各位莫笑
鄙人有一个微积分基本概念始终不明其所以然:一个黎曼可积的函数的定积分等于以积分上限为自变量的原函数值减去以积分下限为自变量的原函数值的值,以函数f(x)=2x在[0,2]的定积分为例,它的积分值按不定积分与定积分的关系等于4,但这个定积分的几何形象是一个直角三角形,看不出它的面积与原函数值有什么联系?还请众位高手一解鄙人疑惑

chinaunix

f(x)=2x
的原函数是
g(x)=x^2    x平方
[0,2]围的是一个直角三角形,底和高分别是2和4,面积一算是4
   |2
x^2|  =2*2-0*0=4
   |0
两者吻合

nnzgyh123

是的,2楼说的对.只是我还想知道原函数值与函数下的图形面积之间为什么会有这样不可思议的联系?从代数上可以推出正确的结论,只是从直观性上来说,却看不出什么联系?

chinaunix

这个定理叫微积分基本定理:
设f在[a,b]黎曼可积,定义
      _ x
F(x)=|   f
    -   a
其中x属于[a,b]
并且f在[a,b]连续,
那么一定有
F(x)可微,并且
F';(x)=f(x)

chinaunix

微积分基本定理可用中值定理证明.

chinaunix

具体证明参见各个《数学分析》教程。
因为不好写一些数学符号，所以我也不就不写了。

nnzgyh123

下面引用由chinaunix在 2008/10/03 03:50pm 发表的内容：
微积分基本定理可用中值定理证明.

谢谢您的回答，其实我就是想知道前人是怎么想出原函数值与函数下围成的图形面积的这种等价关系的？希望您能解答

chinaunix

微积分基本定理应该是牛顿发现的吧,因为力学的发展需要计算面积,所以有了定积分.但开始的时候定积分的计算一定是很复杂的,于是就去探索是否有方便的方法呢?于是在反复的猜想、证明中发现了微积分基本定理

nnzgyh123

是的,但我想知道牛顿是怎样想出这种联系的?(思考过程)

chinaunix

我并不知道牛顿是否在他的著作中提到他的思考过程，所以我并不知道他的思考过程，故无可奉告。
你的思路我很欣赏，确实，思考过程是非常重要的东西