[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/02/28 07:46am 第 5 次编辑]

问题是这样让我注意到的： 0.33333...=1/3 到底是什么意思？这式子对吗？
我看见有帖子说左边既然永远写不完，所以不确定，也不能等于右边。由此推出实数理论必须改革，阴阳八卦先不论，太极模型要出笼的结论。
首先我认为左边已经写完。因为它表达了确定的书面意义： 用一个有限的形式表示小数点后面无穷无尽的3。（这是辩证法的一个很普通但非平庸的运用！）
其次，它表达了确定的数值及运算意义：
lim sum_(i=1)^n (3/10^i)=1/3 或 0.3+0.03+0.003+...=1/3
n→∞
我注意到了对这种说法的批判：一是加不完，二是极限是数不合语法。
第一，写不完，加不完这类说法无可厚非：表明了人类数学启蒙时期的水平。但是人类的数学水平在发展，在一种表达法写不完的对象在另一种表达法下可以写完。毕竟依赖于特定表达的数学是非代数化，非形式化，幼稚，缺乏一般性的数学。我国古代数学发展落后的主要原因是形式化不够。但是人类没有停留在这种水平，推广的实数表达法，推广的运算（取极限）超越了写不完，加不完和不确定，使 0.33333..=1/3 意义明确，并且正确。
第二，左边是极限表达式，而右边不是，划等号是不合语法的指控十分有趣。本人十分欣赏注意到这种左右边的不同的人。一个有思想，可能会有理论建树的人一定要有这样的洞察。但是，数学上有意义的任何等式的两边必定不尽相同，否则就是废话，原地踏步：
例如 1+1=2 不能因为加法不是数就被推翻。它的正确在于加法作用在给定的算元上取值确实是右边的数。
0.33333..=1/3 在语法上的正确与否的问题与如何定义无限小数相关。上述传统的定义不会导致 0.33333...=1/3 有语法错误。
最后，我注意到认为 0.33333... 不等于 1/3 的人把 0.33333... 定义为数列
0.3,0.33,0.333,....
当然，在这样的定义下两者不同：左边是自然数集上的函数，右边不是。问题在于在可以有让等式成立的定义的情况下（传统的定义），为什么要给个新定义来否定广大人民的数学实践和传统？
持这种定义的人中又有人进一步说 0.33333...+d = 1/3. 其中d 是一个无穷小，并说d不断趋于0但不等于0，而0.33333...不断接近于1/3但不等于1/3。这种说法的麻烦在于如何回答现在对张三来说，0.33333...接近到1/3的那里，对李四又如何？到明年中秋子时北京时间，0.33333...又变到了哪里？0.33333...成了精灵，不需能量地计算自己？或成了个人心中的恋人，对爱得深，性子急的人，就离搞定近些？ 对于一个没有参数的表达式 0.33333.., 说它在变，是把所谓的“潜无穷病毒”重新植入分析。让贝特来继续诅咒中毒的青少年（记得有人用毒害青少年来批评自己以为在数学上荒唐的人）。

ygq的马甲

第二，左边是极限表达式，而右边不是，划等号是不合语法的指控十分有趣。本人十分欣赏注意到这种左右边的不同的人。一个有思想，可能会有理论建树的人一定要有这样的洞察。但是，数学上有意义的任何等式的两边必定不尽相同，否则就是废话，原地踏步：

楼主似乎并不明白：基础研究的“严谨”，经常是“废话，原地踏步”，经常是“同义重（反）复ｔａｕｔｏｌｏｇｙ”。还是不要有“但是，数学上有意义的任何等式的两边必定不尽相同，否则就是废话，原地踏步”
举例来说，“形式”逻辑的同一律就是 A=A ，对基础研究就是“原地踏步”。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/02/27 07:18am 第 2 次编辑]

A = A 之所以有意义，是因为左右两边除了某种被衡量的方面的同一以外，还有一些不同。可能是形式的或性质的不同。
例如 (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2 在量上相等，在表达/算法上不尽相同。所有的数学推理一定依赖于同一律，但也无不用到变形，运算上的差异。
我说的原地踏步是 1=1，2=2 之类的东西。这才是真正意义上的废话，严格地说，只有这样的东西在一切方面都同一。

jzkyllcjl

"传统的定义"中0.33……的个数是多少？他是不是十进位小数，它为什么等于1/3?请你解释一下!

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/02/27 07:43am 第 1 次编辑]

下面引用由jzkyllcjl在 2009/02/27 07:19am 发表的内容：
"传统的定义"中0.33……的个数是多少？他是不是十进位小数，它为什么等于1/3?请你解释一下!

本来谈的就是无限十进小数。所问个数无限，等于1/3是因为
lim sum_(i=1)^n (3/10^i)=1/3
n→∞

ygq的马甲

下面引用由elimqiu在 2009/02/27 07:07am 发表的内容：
A = A 之所以有意义，是因为左右两边除了某种被衡量的方面的同一以外，还有一些不同。可能是形式的或性质的不同。
例如 (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2 在量上相等，在表达/算法上不尽相同。所有的数学推理一定依赖于　...
我说的原地踏步是 1=1，2=2 之类的东西。这才是真正意义上的废话，严格地说，只有这样的东西在一切方面都同一。

你的“A = A ”与 “ 1=1，2=2 ”有什么【定性】上的不同吗？？？前面有意义，后者就是“这才是真正意义上的废话”

ygq的马甲

下面引用由jzkyllcjl在 2009/02/27 07:19am 发表的内容：
"传统的定义"中0.33……的个数是多少？他是不是十进位小数，它为什么等于1/3?请你解释一下!

真是【愚昧】程度的东西。
如果是“实无穷”，那么 0.33…… =1/3 。（这是【公理】推理出来的）
如果是“潜无限”，那么 0.33…… ≠1/3 ，但 lim 0.33…… =1/3

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/02/27 10:34am 第 2 次编辑]

下面引用由ygq的马甲在 2009/02/27 07:50am 发表的内容： 你的“A = A ”与 “ 1=1，2=2 ”有什么【定性】上的不同吗？？？前面有意义，后者就是“这才是真正意义上的废话”

“A = A ”是命题演算中的公式的真值相等的表达，允许公式除真值以外的一切不同，而“1=1”的左右边没有任何方面的差别。 你的同一律"A=A"适用于 1+1=2， 而后者是去‘形式存数值’意义上的“同一”， 不是字符串意义上的“同一”。 有意义的同一律的例子： 2x = 6 <=> x = 3 （方程得解） 如果废除一切方面的差异，那么只能有 2x = 2x, 6=6 而不能有2x = 6,于是也得不到解x=3. 再说一次，同一律是相关于论域的。同义反复不等于克隆。 我谈及这些是因为有人认为 lim sun_(i=1)^n (3/10^i) = 1/3 违反了同一律。 n→∞ 我不想与人多谈“潜无穷”问题。不用这术语活得好好的。近来哪些有影响的分析著作会依赖于这个词？ 不过我有胃口学学到底为什么在 “潜无穷”的意义下 0.33333... 不等于 1/3. 当然我同时要“潜无穷”和 0.33333... 的定义。

jzkyllcjl

0.33333... 的定义是什么？请楼主说说！你5楼的解释用了极限，为什么用极限？请解释！

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/02/27 11:30am 第 1 次编辑]

不过我有胃口学学到底为什么在
“潜无穷”的意义下 0.33333... 不等于 1/3.
当然我同时要“潜无穷”和 0.33333... 的定义。

这是【体系】相容性所要求的。你，不会没听说过“相容性”这个术语吧？？？
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附图：二维几何模型表示的逻辑类型

【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪" &Iuml; "∪"Φ"
按照“一分为二”方法假设代号 A 和 ﹁A ，那么对照“二维几何模型表示的逻辑类型”附图，存在五种侧面，分别如下：
R(·,·)="Φ" 对应的是 A 和 ﹁A ；
R(·,·)="∈" 对应的是 A←→A 和 ﹁A←→﹁A ；
R(·,·)=" &Iuml; " 对应的是 A←→﹁A 。
以上是【公理】部分，与 A 所选择的具体内容无关。
【定义】R(·,·)="∈" 类型的无穷称为“实无穷”，R(·,·)=" &Iuml; " 类型的无穷称为“潜无穷”。

[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-
（链接）“实无穷”及其判断规则
这篇“链接”文章中有一些等价【证明】
命题：罗素悖论 A&Iuml;A 与这里的 R(·,·)=" &Iuml; " ，是在康托尔集合论内完全等价的。
①起点是罗素悖论 A&Iuml;A ；
②按康托尔集合论的“关系 aR(a,b)b”定义，上式完全等价于 AR(A,A)A 且 R(A,A)=" &Iuml; "；
..这里的“等号 =”，表示变量赋值；
③将不重要的代号 A 抽象掉，原来必须出现的位置代以“·”,则上式完全等价于 R(·,·)=" &Iuml; "；
④终点是 R(·,·)=" &Iuml; "。
反方向的证明过程省略。