数学是什么？

elimqiu

最近与jzkyllcjl先生有较多的争议。结果是此贴。希望在更基本的水平上有所交流。
首先声明，本人不是要给出一个配得上国号的绝后的结论。而是要引起讨论，澄清一些迷思。去除一些有害的见地。
科朗与罗宾合著的“数学是什么”一书把数学的一些历史，一些理论和应用作了一个介绍。让人对数学有所了解。我提出同样的问题是因为自以为懂得数学的人在什么是合理的数学对象，合理的数学方法，数学与物资实践的关系这些问题上的分歧。
让我们来考虑一个对小孩简单，对大人复杂的问题： 数学中的圆是什么？
一个相当流行的定义说：平面上与某定点的连线均等于某定线段的全体点的集合称为圆周。
这个定义不是没人反对：
（a）如果点没有定义，那么上述圆的定义就不知所云
（b）如果点没有大小，就不是可实践的，线段相等在实践上是不可判定的，上述定义的圆于是不存在。
（c）有长度的曲线不可能由没有大小的点构成。
（d）圆的上述定义所确定的集合是变化着，不断构成自己的非正常集合。因为任何非有限的集合的点的枚举在实践意义下无法穷尽。
......
我以为
1）数学的对象无例外地具有抽象性。这种抽象性无例外地超越了物质世界的实践性。
   1+1=2 就够抽象的，在实践中只有一个蛋再一个蛋凑成两个蛋等等被许多表象遮盖着的个案而不会有1+1=2本身。.从具体的实践即使要达到1+1=2 这种极其简单的数学结果，也没有办法不依靠“超越"。有限的实践没有可能穷尽1+1=2 的普适性。三角形是抽象的，理想的。所有三角形的定理没有这种抽象/理想性就不能建立。
2）数学需要这种抽象性以保证其对任何个别的实践的独立，而这种独立又保证了数学的客观性。
   三角形内角和等于二直角的定理不是测量出来的（相反，根据广义相对论，测量精确到一定程度你还得到否定的结果。即便如此，欧氏几何还是不可或缺）。数学的客观性在于其确定性（不以人的意志为转移）。
3）数学的普遍应用价值也正是由于数学结果的抽象性。
   二次方程的求根公式与任何个人的开根能力无关。在抽象的数习中一次的演绎所得到的公式是人类在物质世界的所有实践也得不到的。求根公式的合理性建筑在开根所对应的数的存在性。
4）数学中的存在与物质世界中的存在没有机械的对应关系，因而物质世界中的存在，可行性不能用来判断数学中的存在，可行性。相反，正是因为数学可以行物质世界中不可行的事，才成为人类文明不可或缺的财富。
  无限循环小数 0.33333... 不应当由于其3写不完就说它不存在，或它在不断变化。因为数的存在性应当独立于人对它的任何书写，数的表达只要在所论数系中唯一确定了一个数，就是一个合法的表达。写不完不等于所表达的数在变。否则数就没有了客观性。
5）数学中的存在性与有限构造性应该是两个不同的属性。
  数学危机总是跟无穷有关。但是无穷也不是那么好避免的。直觉主义者们的愿望不错，只是他们的直觉好像也没有排斥圆这个又有限又无限的东西：作为一个整体它有限，作为点的集合含了无限的点。圆的各向同性让他们很难指出哪些点先被构造出来，而另一些又难以指望在我们的有生之年被构造完毕等等。这些人其实很难摆脱实无穷这个观念。对实无穷的接受与否是一个数学的选择，选择的结果是产生不同的数学系统。不同的系统只要有内部的相容性，就有数学的合理性。实践对数学系统的选择是通过具体的数学模型而实现的。
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我认为基本问题恰恰是人们争论不休的问题。这么说是因为：争论一般会逐渐聚焦到一些基本的点上。就像物理化学生物学的研究会指向其研究对象的基本构成，基本方法一样。又因为基本的东西涉及学科的全部，对它的认识会随着对整个学科的认识的深入而深入，不会终结。再因为争是人们交流的基本方式之一，一般用在特别在意，又没有足够的自信赢得接受的情形，而基本的东西当然让人在意，其深度也常常让雄辩家失去足够的自信。
以上不是基本问题的定义，而是基本问题的特征。旨在告诉各位和我自己。对基本问题有争议是正常的。不要耿耿于怀，演成出格行为。
对控制局面（或说服对方）的无能的非专业的出格表现是谩骂；专业的出格表现是转移话题，全方位，发散型诋毁讥讽中伤等等，词牌对仗无所不用，以此能取代原来的无能。争论的出格的上述效应之一是损害自我形象。牛顿的作用于反作用定律在精神世界也成立。实践表明，数学成果不是靠这些出格的行为搞出来的。效应之二是损害论坛形象。我想强调的是：任何所述出格均表明一种学术上的无能和道德上的欠缺。这么说是与各位共勉：脱离低级趣味，给青少年们一点正面的样子：-）

ygq的马甲

数学危机总是跟无穷有关。

无穷，同时也给人们实现【质变】的机会。

申一言

尊敬的楼主老师;您好!
     您所说的一切都是金玉良言!
     鄙人必将一一牢记在心!
     为了数学!
     为了下一代!
     为了伟大的祖国----我的母亲!
                                           谢谢您的忠告!
   对于某些变了质的东西不预理睬!!

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2009/03/12 07:22pm 第 3 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2009/03/12 08:44am 发表的内容：
最近与jzkyllcjl先生有较多的争议。结果是此贴。希望在更基本的水平上有所交流。
首先声明，本人不是要给出一个配得上国号的绝后的结论。而是要引起讨论，澄清一些迷思。去除一些有害的见地。
科朗与罗宾　...

第一套定义：
A1）点是没有长度的位置。
A2）线段是由无穷多个更小线段构成的。
A3）曲线是由无穷多个更小折线段构成的。
A4）圆周是由无穷多个更小折线段的封闭且这些折点与一个定点的距离相等而构成的。
第二套定义：
B1）点是有直径长度的无穷小圆球。（能适合三维空间、二维空间、一维空间）
B2）线段是由无穷多个直径连续的无穷小圆球构成的。
B3）曲线是由无穷多个直径不连续的无穷小圆球依次相切构成的。
B4）圆周是由无穷多个直径不连续的无穷小圆球依次相切的封闭且这些圆球圆心与一个定圆球圆心的距离皆相等而构成的。
问题：
1.小圆球与小圆球之间的相切，是不是一个切点？这个点怎么定义？
2.如果点不能定义为无穷小圆球，而被定义为一个有长度的无穷小线段（实际上点与无穷小线段分不清楚了），那怎么与第一套定义相区别？
3）如果点被定义为有长度的无穷小线段，那么无穷小线段与无穷小线段接触处是不是也是一个点？这个点怎么定义？

ygq的马甲

第二套定义：
A1）点是有直径长度的无穷小圆球。（能适合三维空间、二维空间、一维空间）
A2）线段是由无穷多个直径连续的无穷小圆球构成的。
A3）曲线是由无穷多个直径不连续的无穷小圆球构成的。
A4）圆周是由无穷多个直径不连续的无穷小圆球的封闭且这些圆球圆心与一个定圆球圆心的距离相等而构成的。
问题：
1.小圆球与小圆球之间的相切，是不是一个点？这个点怎么定义？
2.如果点不能定义为无穷小圆球，而被定义为一个有长度的无穷小线段，那怎么与第一套定义相区别？
  

这是“非标准分析”范围的，与“标准分析”范围是不重迭的。不能同时使用！！！

申一言

好!
   顽石提的好!!

顽石

我们只能选择其中一套比较正确的定义，不能两套定义同时混用！

申一言

好!
ygq的马甲 回答的也好!(气氛)
但是存在矛盾,混淆逻辑,是是而非?不行!
要么甲,要么乙,甲乙不能混为一谈!  

ygq的马甲

下面引用由顽石在 2009/03/12 11:16am 发表的内容：
我们只能选择其中一套比较正确的定义，不能两套定义同时混用！

类似于欧氏几何与非欧几何，“标准分析”对应于欧氏几何，“非标准分析”对应于非欧几何，应用场合不能重迭的，不能同时使用

申一言

啊!
   还不严密!
   科学来不得半点虚假!
   数学更是需要严密的逻辑思维!
   二者共存则乱!
   只取其一则强!
   我的使命就是拨乱反正!
                       ygq的马甲 你那?----就是捣乱!那不好吧?