[原创]四维超立方体

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/09/26 07:53pm 第 2 次编辑]

[watermark]四维超立方体[/watermark]

drc2000

    应网友要求，解释如下：
　　零维的点Ａ沿第一个方向ＯＸ移动到点Ｂ，路径为一维的线段ＡＢ。
　　一维的线段ＡＢ沿第二个方向ＯＹ移动到线段ＤＣ，路径为二维的正方形ＡＢＣＤ。
　　二维的正方形ＡＢＣＤ沿第三个方向ＯＺ移动到正方形ＥＦＧＨ，路径为三维的立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ。
　　同样类推：
　　三维的立方体ABCDEFGH沿第四个方向ＯＴ移动到立方体A1B1C1D1E1F1G1H1，路径为四维的超立方体ABCDEFGH-A1B1C1D1E1F1G1H1。

zhaolu48

　　创意很好，但对四维空间没有很好理解的网友来说，也容易产生误导。
　　三维空间对于它所在的四维空间，是相当于一个三维超平面的。
　　比如，三维正方体，它的中心到8个顶点的距离都相等，那么通过它的中心垂直于这个三维正方体所在的超平面的直线上的任意一点到这8个顶点的距离都相等，这一条重要性质在您的图形当中是体现不出来的。
　　两个三维立方体ABCDEFGH与A1B1C1D1E1F1G1H1(包括它们的内部)也是这个四维立方体的两个“面”，而且是两个相对(即平行)的“面”，可在图上看到的却是这两个“面”有很大一部分都是重合的。即看到的这个四维立方体的“内部”，其实是它的“面”的内部，这个四维立方体的内部是画不出来的。
　　说得难听一点，您画出来的只不过是一个“大木箱”而已，并不能给人以四维立方体的感觉。
　　正方形的四条边是这个正方形的“边界”，分布在它的周边。
　　正方体的6个面也是这个正方体的“边界”，也是分布在它的周边。
　　四维超正方体的8个面(三维正方体)也是这个四维超正方体的“边界”，它们也是分布在这个四维超正方体的“周边”的。这条性质是无论如何也画不出来的！

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/09/27 12:48pm 第 2 次编辑]

　　
　　[glow=255,red,2]（请特别注意：这里所提出的图形，都是指的只是四维图形在２维平面上的“射影”，而不是真正的“原图”。事实上，我们所说的立体几何里面的空间直观图，也都只是３维图形在２维平面上的射影，呵呵，也就是一个客观的"存在"在您的电脑屏幕上的影子哦）[/glow]
　　前面是从仿射几何的角度来看四维超立方体的。
　　
　　下面从物理观点看四维超立方体：
　　图象是外面的正方体沿时间轴ＯＴ移动到里面的正方体所经过的路径。（简单地说，就是一个大的立方体套着一个小的立方体）
　　零维的点Ａ沿第一个方向ＯＸ移动到点Ｂ，路径为一维的线段ＡＢ。
　　一维的线段ＡＢ沿第二个方向ＯＹ移动到线段ＤＣ，路径为二维的正方形ＡＢＣＤ。
　　二维的正方形ＡＢＣＤ沿第三个方向ＯＺ移动到正方形ＥＦＧＨ，路径为三维的立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ。
　　以上三点和前图所表达的意思完全相同。
　　关键在第四点：三维的立方体ABCDEFGH沿第四个方向ＯＴ移动到立方体A1B1C1D1E1F1G1H1，路径为四维的超立方体ABCDEFGH-A1B1C1D1E1F1G1H1，如果分别从两个角度考虑，所的的图形完全不同一个是保持平行不变，（平行变换）另外一个是对应点交与同一点（透射变换）。
　　造成这种不同的原因是：物理学认为在四维空间中，前三维轴ＯＸ，ＯＹ，ＯＺ是长度轴，而第四维轴ＯＴ是时间轴！
　　这样设定后，就面临着一个难题，时间的单位是秒，而长度单位为米，如何解决呢？
　　这没关系，以三亿米做以为第四维轴ＯＴ的１个单位（既光走１秒的路程），不就解决问题了呀。
　　鉴于空间膨胀－－现在的普遍物理观点，四维空间的超立方体的各个对应点应该延长交于一点，既大爆炸的起点。
　　当然，这个图象只是一个示意图，即使画一个非常大的“超四维立方体”　，两个相套的立方体，各个对应元素也非常接近。
　　　　

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/09/27 03:12pm 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2005/09/27 04:14am 发表的内容：
　　创意很好，但对四维空间没有很好理解的网友来说，也容易产生误导。
　　三维空间对于它所在的四维空间，是相当于一个三维超平面的。
　　比如，三维正方体，它的中心到8个顶点的距离都相等，那么通过它的中　...

　　谢谢zhaolu48老师对本主题的关心！
　　创意谈不上哦，只是老夫平时对相关的数学知识的一点肤浅的思考。
　　对与您提的几点建议，我谈谈几点看法，以供商榷。


　　“三维空间对于它所在的四维空间，是相当于一个三维超平面的。比如，三维正方体，它的中心到8个顶点的距离都相等，那么通过它的中心垂直于这个三维正方体所在的超平面的直线上的任意一点到这8个顶点的距离都相等，这一条重要性质在您的图形当中是体现不出来的。”
　　这个观点不错。


　　“两个三维立方体ABCDEFGH与A1B1C1D1E1F1G1H1(包括它们的内部)也是这个四维立方体的两个“面”，而且是两个相对(即平行)的“面”，可在图上看到的却是这两个“面”有很大一部分都是重合的。即看到的这个四维立方体的“内部”，其实是它的“面”的内部，这个四维立方体的内部是画不出来的。正方形的四条边是这个正方形的“边界”，分布在它的周边。
　　正方体的6个面也是这个正方体的“边界”，也是分布在它的周边。
　　四维超正方体的8个面(三维正方体)也是这个四维超正方体的“边界”，它们也是分布在这个四维超正方体的“周边”的。这条性质是无论如何也画不出来的！”
　　呵呵，你可能已经注意到，我们通常画的立体几何里面直观图，实际上并不是真正空间图形，而只是３维图形在２维平面上的射影！
　　如果您真的要在黑板上画一个真正的３维立体图形，恐怕得动用锤子等工具，备上铁丝等材料大动干戈才可以。
　　同样道理，我们画４维的超立方体，实际上画的并不是真正的“４维的超立方体”，而只是它在２维平面上的射影而已。
　　鉴于它们只是“射影而已”，所以很多度量性质是反映不出来的，只有有关的拓扑性质才能够得以保持。
　　如果高维的图形在低维空间上表达，去讨论像“内部”、“外部”等概念，实际上将变的毫无意义。
　　比如，你任意画两个边长为４cm的正方形，涂上颜色用来表示两个平面，并使它们的距离为１cm。在平面上，无论你用斜二测画法还是正等测画法，（虽然我们看两个平面还是平行的，不相交），你还是会发现两个图形的点集确实会有公共点，何况平面还是无限延增的。
　　
　　又如，在平面上画一个圆圈代表监狱“围墙”，２维的生物“小虫”在内，如不穿过“围墙”越狱，“小虫”是没办法出来的，但是在人类所在的三维空间中，不穿过“围墙，要把“小虫”拿出来却是轻而易举的。
　　
　　在这个意义上来说，这种“内外”并不存在。（或者说在平面上圆有内外，既只在圆所在的平面上谈内外，而在整个空间中不谈内外）
　　同样道理，对于一个鸡蛋。在３维空间中，蛋壳与黄“内外”分明，而在４维空间中，这种“内外”表现就毫无意义了。
　　综合上叙述，反映在四维超立方体上，由于是在“２维的空间”上表达“４维的图形”，所以“内部”、“外部”等概念等运用，实当慎重呀！


　　“说得难听一点，您画出来的只不过是一个“大木箱”而已，并不能给人以体的感觉。”
　　嘻嘻……，你说它是一个“大木箱”而已，不是批评我，而是夸我哟。我还没来的急着色与渲染，连材质都没挑好哦。
　　话又说回来呀，这个所谓的“四维超立方体”确实难看，我自己也看的晕忽忽的。不过，天地良心呀，我确实是用心去作图的呀。它的的确确就是“四维超立方体”（在２维空间上的射影），并不会因为难看，而变成其它的东西。
　　我们看立体几何课本上的“三维图形”，并不给困难，甚至有些美感。然而为什么“四维”图形那么难看呢？
　　这是因为我们本身就生活在三维的空间里！立体几何课本上的“三维图形”，在我们的大脑里面或多或少地留有“影象”，而这些“影象”与立体几何课本上的“三维图形”的辨别、比较丝毫不存在困难。
　　也有例外，根据医生介绍，人除了色盲，还有少数（不超过１％）学生患有空间盲（空间知觉盲），他们对三维的图形知觉迟缓。
　　对于每个人而言，应该说是都有“四维空间知觉盲”吧？不是别的，只是因为我们生活的空间就是三维的。我想，要是所以经过一些训练，这种四维图形的辩识，应该都有改善。


　　下面给个“５维空间的超立方体”，以感谢大家对此文的阅读。

　　
　　
　　
　　

drc2000

５维的空间超立方体

中国心

楼层上的,都不错,有见解.超立方体如果能这样推下去的话,那一个N 维立方体又怎么在二维空间里表示呢,是不是二维空间就是空间的单位元素,而一维空间不是他的最小元素?如果是,那有用什么来证明呢

zhaolu48

　　如果单从数学观点上讲，一个加维封闭几何体可用
　　f(x,y,z,t)=0，
表示。
　　那么它在坐标平面(即三维子空间){O;x,y,z}上的正投影就是
　　f(x,y,z,0)=0。
　　那么四维正方体在它的一个三维子空间内的投影就是一个(三维)正方体。
　　四维空间里的一条直线，与这个四维空间里的一个三维超平面的位置关系，与三维空间里的一条直线与一个(三维)平面的位置关系是一样的，
　　平行、相交、在超平面内。
　　并且所有性质与三维空间里的直线与平面关系一模一样，
　　也就是说，有相同的判定定理与性质定理。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/09/29 00:52am 第 2 次编辑]


　　观点基本没错．
　　不过稍微纠正一句话：＂……那么四维正方体在它的一个三维子空间内的投影就是一个(三维)正方体。＂，是否应该改成：“[color=#DC143C]那么四维正方体在它的一个三维子空间内的投影就是两个(三维)正方体，再加上对应元素连线而成。”.
　　降维考虑：一个正方形ABCD在一条直线上的射影，不是一条简单的线段，而是共线的４条（有些重叠的）线段AB-BC-CD-DA组成的图形。
    二者道理是一样的。

zhaolu48

　　视图，问题要把对象按某个比较容易反映它的特性的方向放置。
　　比如画长方体的三视图，都是要把它的共点的三条棱与三维直角坐标系的三条坐标轴平行，从而它的三个视图都是矩形，也就是它共点在三个面。如果是任意放置，画出的视图，可能谁也读不懂。
　　视图不是照像。
　　一个四维长方体，要在三维直角坐标系内画它的视图，就应该画四视图，每个视图就是它的相对超面的一个(准确的说是这个四维长方体重合为一个)：(三维)长方体。
　　当然这个四维长方体的共点的四条(一维)棱要分别与四维直角坐标系的四个坐标轴平行。
　　画视图是为了能让人看懂。
　　如果把四维长方体按任意方向放置，那么它的任意两个面在一个三维坐标面上的射影都不重合，因此每个面在这个坐标面上都有它的射影：平行六面体。
　　因此一个四维长方体，在一个三维子空间上的射影是8个平行六面体，恐怕四维空间感再好的人也很难读懂这个视图，并且也很难画出这个视图。
　　机械零件的视图，建筑视图，即设计图纸，都不会把设计的对象想象成按任意方向放置。如果把设计的对象相向成是按任意方向放置，设计者本人也很难把图纸画出来，即使画出来，加工工人或建筑施工员也看不懂这样的图纸。