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何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

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发表于 2009-3-30 17:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
[这个贴子最后由tnjian在 2009/03/30 05:59pm 第 3 次编辑]

一、什么是数学?按照罗素的观点,并且考察现有数学的情况,那么数学本质就是一句话
       
         [color=#FF7F50]“若公理集合论为真,那么所有数学定理为真”
   
    所以数学从形式推导上来说,是一个条件命题,根本不关心我们的现实为何物,数学中有N维空间,我们这里有人看过3维以上的空间吗?
   但是,假如另外一个宇宙有一个地方存在N维空间,那么关于N维空间的所有命题都在那个世界成立。也就是,数学在想象可能存在的世界。
   那么这么说,有人反问:数学的研究对象是没有限制的吗?不是的,一个显著的要求是需要满足无矛盾性,也就是在下面A这句话里面,必须没有矛盾
  [color=#FF7F50]“若公理集合论为真,那么所有数学定理为真”  (A)
  很多人口口声声说推翻了数学,或者说什么和实践相矛盾,其实他们在说的是这句话
  “根据某人的实践断定某个数学定理为假”                 (B)
  先不说B的内容如何,一个最大的问题就是,那些攻击的人都在树立一个心目中假想的数学在攻击,而根本没攻击到真正的数学之上,为什么这么说?
  因为(A)是一个条件句,要想证明数学是错的,就需要证明这样一句话
 “若公理集合论为真,那么能推出一个命题既为真也为假”,这样才会彻底动摇数学的基础。
  而那些人怎么做的?
  无非是以下手法:“根据某某的实践,主观拟定一个数学概念,比如是点的概念,无穷的概念,反正这个概念和公理集合论的概念不一样,然后从这个与现有数学不同的概念出发,去推导出一个和现有数学不同的结论”
  这种手法,其实是在自耍自一套,根本和数学擦肩而过。
二、接下来,说一下实践和数学的问题,数学并不需要彻底屈从感性认识,但是自然界是天然的老师,会给数学发展以启示。
  也就是说
          1                  2
  实践------------>公理---------------->定理
        提炼,飞跃       严格的逻辑推导
  只有阶段2才是数学,而阶段1只是一种启发的来源而已。
  我们举例欧几里得几何和非欧几何的例子
                                3
   欧几里的公理(肯定平行公理)------------>欧几里得几何的大批定理
                                4
   非欧的公理(否定平行公理)------------->非欧几何的大批定理
   为什么我们说这两种几何都是数学,就是因为3,4两个过程是严密推导的过程,同时欧几里的公理内部之间是无矛盾的,非欧的公理的内部之间也是无矛盾的。
   至于,现实世界中的几何到底是符合欧几里的几何,还是非欧几何,这些不是数学家所关心的问题,这些是物理学家所需要测量判定的问题,假如经过精准的测量,发现平行公理更符合实践,那么我们就使用欧几里德几何,假如经过精准的测量,发现平行公理需要否定,那么我们就使用非欧几何,无非是两套武器而已。
三、再接下来,说说标准分析和非标准分析。
   非标的建立方法有很多种,为了便于比较,我采用GTM丛书中的《公理非标准分析》一书。
   我们看下面的图
              严密的逻辑推导
   ZFC公理-------------------->标准分析
                     严密的逻辑推导
   ZFC公理+IST公理论------------------->非标准分析
   从上面的图可以看出,非标原始的公理比ZFC的多,多的这几条叫做IST公理(想要了解,可以联系我),那么数学家是精心选择三条IST公理,使得
1.“ZFC公理+IST公理论”内部无矛盾
2.使得IST公理推出的结论能符合我们关于无穷小的一些原始直觉,当然不是完全符合,而是在逻辑允许的无矛盾范围内,尽可能符合。
   所以,标准分析的结论就是非标准分析的一个子集,也就是说标准分析的结论都是非标准分析的结论。我们在数学中,喜欢用直线来解释实数,现在到了非标准分析中,超实数集比实数集多了那么多元素,用平常的直线来解释超实数集,其实是不恰当的,因为谁也不可能真正的在平常的直线上去找到很多很多无穷大,只能想象。
   这就是,所谓的直观模型解释的缺乏,这并没有什么大惊小怪,在复数发明后,谁都看不懂1+i是什么东西,后来有个工程师,把1+i解释为平面一点,那么大家才感觉,比较实在了,否则就只能在逻辑中把握,在想象中把握。
数学中,缺乏直观模型的数学对象有很多,比如10维空间,超实数,处处连续处处不可微的函数,克莱恩瓶等等。在这些数学对象的理解中,逻辑是用来把握它们的唯一正确有效的工具。
四、扯点哲学上面的话题,现代西方分析哲学把科学知识分为两类,1类是逻辑和数学(把数学看成条件命题),2类是具体的实验科学,经验科学,观察总结得到的,比如物理学,化学,生物学。
    1类科学和2类科学是完全不同的,
    1类科学是在任何世界中都成立,而2类科学只在我们现存的世界中成立。
    也就是说:“逻辑命题A=A”,“若ZFC成立,则实数不可数”这样的命题是在任何世界中都成立的,注意“若ZFC成立,则实数不可数”是条件命题。
    而另外的命题“电子无大小”“光速不变”“氧气会助燃”等这些命题我们称为经验科学的命题,是根据我们的现实世界具体检测出来的,他们只在我们的现实世界中成立,也非常直接的依赖于观察实践。
发表于 2009-3-30 17:51 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

不错,是个真正懂得数学的同志.
 楼主| 发表于 2009-3-30 18:16 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

[这个贴子最后由tnjian在 2009/03/31 00:27am 第 1 次编辑]

回楼上,我不算懂数学,数学的领域博大精深,我才了解很小的部分。现在不年轻了,感觉时间不多了。
发表于 2009-3-30 19:38 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

不错吗?
当然不错!
是个真正懂得数学的同志吗?
当然是!
发表于 2009-3-30 20:11 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

下面引用由申一言2009/03/30 07:38pm 发表的内容:
不错吗?
当然不错!
是个真正懂得数学的同志吗?
当然是!
    申大师说:“是!”
                     ---- 自然是!
发表于 2009-3-30 20:30 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/30 08:54pm 第 1 次编辑]

楼主讲得很好!大家都应该来看一看。
发表于 2009-3-30 20:41 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

而那些人怎么做的?
  无非是以下手法:“根据某某的实践,主观拟定一个数学概念,比如是点的概念,无穷的概念,反正这个概念和公理集合论的概念不一样,然后从这个与现有数学不同的概念出发,去推导出一个和现有数学不同的结论”
  这种手法,其实是在自耍自一套,根本和数学擦肩而过。
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jzkyllcjl ()......曹俊云1 杨健辉2(1河南理工大学数信学院,2河南理工大学土木学院,河南焦作 454003)
顽石(任月扬)
发表于 2009-3-30 20:50 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。


   明灯高照本论坛,
   哥猜较好亦出现,
   数学中国更繁荣,
   中国数学更强健!-----强大和健康的!
发表于 2009-3-30 20:52 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

四、扯点哲学上面的话题,现代西方分析哲学把科学知识分为两类,1类是逻辑和数学(把数学看成条件命题),2类是具体的实验科学,经验科学,观察总结得到的,比如物理学,化学,生物学。
   1类科学和2类科学是完全不同的,
   1类科学是在任何世界中都成立,而2类科学只在我们现存的世界中成立。
   也就是说:“逻辑命题A=A”,“若ZFC成立,则实数不可数”这样的命题是在任何世界中都成立的,注意“若ZFC成立,则实数不可数”是条件命题。
   而另外的命题“电子无大小”“光速不变”“氧气会助燃”等这些命题我们称为经验科学的命题,是根据我们的现实世界具体检测出来的,他们只在我们的现实世界中成立,也非常直接的依赖于观察实践。
按中国文化的说法,这里的“1类科学”是“形而上”领域,这里的“2类科学”是“形而下”领域
发表于 2009-3-30 20:54 | 显示全部楼层

何谓数学?数学的本质,以及浅谈对数学不值一提的攻击。

下面引用由tnjian2009/03/30 06:16pm 发表的内容:
回楼上,我不算懂数学,数学的领域博大精深,我才了解基础部分。
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=2&topic=330&show=25
这个基础题,能否【证明】出来???
贴子主题: [求助]【数学基础问题征解】康托尔连续统假设
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