无尽小数不等于定数

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关于1被3除的问题，可以说：现行小学教科书中已经给出了一个结果。这个结果就是
        1/3=0.333……                               （1）
关于这个等式，他们说：右端是一个无尽循环小数。但是，他们没有交代这个无尽小数的实用意义是什么，也没有交代它等于 的理由，所以他们的做法是不严肃的。
关于等式（1），在余元希等人编写的《初等代数研究》（1988年印刷第80页）例3【1】中可以说给出了证明。这个证明可以写作：首先令  λ= 0.333……   （2），由于0.3333…… 具有永远写不到底的事物性质，它不是定数，所以根据这个等式 的出： λ=1/3 的代数演算是错误的。 其次 它接下去运算是
              
再将等式 （2）两端都乘以10，得：10λ=3+0.333…… （3）， 10λ=3+λ   （4）

对（4）式求解，得： λ=1/3 .  
深入研究这个证明，可以发现这个证明是有问题的。事实上，无尽循环小数不是定数，（2）式的提出就是不严肃的。其次是退一步讲，（2）式的提出是把λ 看作定数了。但是，把“无尽小数的无尽”看作定数（实无穷）时，（3）式中的 中0.333……中含有的3 的个数，比（2）式 中的0.333……含有的3 的个数少一个，因此（4）式右端的  λ与左端 的  λ不同 ，这样就不是：9 λ等于3，以上两个问题说明：文献【1】的证明也是不严肃的，是错误的。

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所有无尽小数都是理想实数的针对误差界序列{1/10^n}的不足近似值数列的简写，它们都不是定数，它们趋向性的极限才是理想实数。所有无理数的无尽小数展开式都具有无法计算到底的性质，因此它们都具有三个无法判断的命题，这三个是：①这个无尽不循环小数展开式中没有百零排（ 百零排指100连续的0）；②这个无尽不循环小数展开式中有偶数个百零排；③这个无尽不循环小数展开式中有奇数个百零排。对这三个命题，不能 根据“完成了的实无穷观点”下可以使用排中律的做法，因此不能应用两次排中律，第一次得到 “有与没有百零排只有一种情形成立”，第二次得到：“偶数个与奇数个百零排有且只有一种成立”。总起来：这三个命题只有且只有一个成立的论断，不能像布劳维尔那样接着他提出：当命题①成立时，令实数Q 等于0；当命题②成立时，令实数Q 大于0；当命题③成立时，令实数Q 小于0的实数Q。那么这个实数Q就成为一个无法判断其究竟大于0、小于0或等于0的布劳维尔反例。这个反例的实质是违反“任何实数必属于大于0、小于0或等于0三种情形之一”的三分律反例。

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所有无穷集合都具有如下的对立统一两个方面。即：①一方面，无穷集合的元素个数都依赖于它们的通项构造法则，它们的元素个数都是无限增长着的趋向性极限性质的、想象性质的非正常实数+∞，所以它们也因此，才可以叫做无穷集合。②另一方面，无穷集合都具有“在任何有限时间内，都延续不到底的性质”。所以，任何无穷集合都不是“已经构造完成了的实无穷”意义的无穷集合。无穷集合的上述两个性质，是相互依赖的，事实上，它的无穷性依赖于不可完成的性质，如果完成了就不会是无穷的；反过来，不可完成性也依赖于无穷性，如果是有穷的，那么就可以完成了。两个性质之间是相互斗争的，各有各的用处；分工合作才构成有用而正确的无穷集合理论。事实上，根据不可完成性，无穷集合的元素个数就不是定数，就不能提出康托儿的无穷序数与无穷基数理论；这样一来，康托儿提出的“连续统假设的大难题”[9]就不存在了。根据无穷性，无穷集合的元素个数是无穷多的，依照习惯，理想自然数集合可以记作N，它可以满足生产实际的需要；还可以指出：理想自然数集合中的元素，都是可以写出的有限自然数；《非标准分析》中提出的大于N中所有自然数的无穷大自然数不存在，实践是检验真理的唯一标准，非标准分析中的那种无穷大自然数没有必要性；根据下文的论述，《非标准分析》无法解决他建立这个理论的目的——解决的第二次数学危机。笔者的这种无穷集合理论是对立统一法则下的唯物辩证法、辩证逻辑性质的无穷集合理论。