本原勾股方程

蔡家雄

蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1，等式两边同时除以4，得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。


等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程

等差勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

且 a 与 p 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。


求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。


由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，

求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程 的通解公式。

\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，


等和勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 p 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

蔡家雄

公共弦勾股数的个数公式

它与公共弦c的4x-1 型素数的指数 无关，

均与公共弦c的4x+1型素数的指数 有关，

设公共弦c中有t个4x+1型的素数，

它的指数为r1, r2, ... , rt,

则公共弦勾股数的个数公式为

[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2

定A勾股数解数及定C勾股数解数，200年前的大数学家Euler 早已发现！

蔡家雄

本原勾股数新公式

设 n为正整数，k为非负整数，

设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)
    b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)
    c= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)+2^(2k+1)

则 a^2+b^2 =c^2

当 k=0 时，有 a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1.

当 k=1 时，有 a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4.


本原勾股数新公式

设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素，

设 a= (2k -1)*(2n+1)
    b= 2*n^2+4kn -2n
    c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2

则 a^2+b^2 =c^2

当 k=1 时，有 a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1.

蔡家雄

等差勾股方程

设 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型 或是 \(8k+1\) 型，

且 \(a\) 与 \(p\) 互素，

则 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 是 本原勾股方程。

若 \(p\) 有 \(t\) 个不同的素因子，

则 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 有 \(2^t\) 组通项公式。


求 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 的本原勾股数通项公式

设 \(x , y\) 为正整数，且 \(x < y\) ，且 \(x\) 与 \(y\) 互素，

求 \(Abs[y^2 - x^2 - 2*x*y] =p\) 的最小 \(2^t\) 组正整数解，

设 \(x_1 , y_1\) 表示 每组的最小正整数解，

设 \(R_1=x_1 , R_2=y_1 ,  R_{n+2}= 2*R_{n+1}+R_n\) , 得 \(2^t\) 组\(R_n\)数列，

设 \(v , u\) 是 \(R_n\) 数列中连续的两项，

则 \((u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2 \)

是 两直角边相差\(p\) 的本原勾股数。


由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x , y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x\) 与 \(y\) 互素，

求 \(Abs[y^2 - x^2 - 2xy] =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程的通解公式。

\(v , u\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

则 \((u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2 \)

是 两直角边相差\(2023\) 的本原勾股数。

wlc1

一道小题，朱火华先生会做吗？

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？

求不出：朱火华先生——丢人现眼！！

人们早已知道公共弦勾股数的解法，

用xxxxx2050 的口气：我干嘛要把解法告诉你，

就算你找到了公共弦勾股数的解法，

别以为自己在数学上发现了一个新大陆。

蔡家雄

罗士琳勾股数本原解公式

设 奇数Q=m+n,（m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数）

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中，E 就是著名的 Euler 函数。但，不是朱火华的公式。


求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =23*49 的最小2^2组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn，得4组Rn数列

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。

蔡家雄

有的是：股平方+勾平方= 弦平方，

朱火华先生提倡：勾股不分，a,b 不分，






分析：朱火华的奇数为勾全部解公式，

反例：x^2=15^2=25*9,
15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2
15^2+8^2=17^2（15为股，8为勾）

朱明君先生何为勾，何为股都分不清，昏而不明，

蔡家雄

等和勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1 型 或是 8k+1 型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。


设 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型 或是 \(8k+1\) 型，

有 \(p\) 的素因子 \(= 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97,\) ......

若 \(x^2 - 2*y^2 = ±(2^r*p)\) , ( \(2^r=1, 2, 4, 8, ...\) )

则 \(x^2 - 2*y^2 = ±(2^r*p)\) 必有正整数解和通解公式。


若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17*23，

由 7*17*23 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=73, b=2664, c=2665 )

2-----( a=1425, b=1312, c=1937 )

3-----( a=1705, b=1032, c=1993 )

4-----( a=2173, b=564, c=2245 )


若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 71*73*79*89，

由 71*73*79*89 有 4个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(4-1)组 本原勾股数。

1-----( a=1692817, b=34748856, c=34790065 )

2-----( a=9236565, b=27205108, c=28730333 )

3-----( a=12389217, b=24052456, c=27055745 )

4-----( a=21126105, b=15315568, c=26093657 )

5-----( a=23824017, b=12617656, c=26959025 )

6-----( a=24777285, b=11664388, c=27385613 )

7-----( a=33833865, b=2607808, c=33934217 )

8-----( a=35044317, b=1397356, c=35072165 )

朱明君

wlc1 发表于 2020-2-20 23:42
一道小题，朱火华先生会做吗？

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？

王守恩老师，庄严老师，蔡老师，程老师会做

蔡家雄

蔡氏勾股弦方程

设 a+b= c+2n ,(n为任意正整数，都有本原解）

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+7744 ,

由 7744 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=22385, b=9792, c=24433 )

2-----( a=7745, b=29992512, c=29992513 )


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )