[求助]关于三棱锥高度的问题

彼洋

  三棱锥的各个棱长已知，那么这个三棱锥就可确定，我想问的问题是求任意一个顶点到底面的距离，是否可推出一个公式来呢？  我觉得这个问题有点内似与古埃及人求金字塔高度的问题，我想当时如果他们可以测出各个棱长，是否可以根据三角知识求出高度来呢？ 这个“公式”我还没有推出，棋盘有人给出解答，谢谢！

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/10/13 10:21am 第 2 次编辑]

已经知道６边长，求三棱锥的高．
我不知道您怎么想为什么要得到公式，即使得到也很复杂，实际意义不大的．
下面我给出一道例题，您自己根据例题的解法去推导公式吧．
例题：已经知道三棱锥ＡＢＣＤ六条边长分别为５，６，７，８，９，１０，求三棱锥的高ＤＨ的长．

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/10/13 12:48pm 第 3 次编辑]

解法思路分析：
１．先分别求三角形ＡＢＣ，三角形ＤＢＣ的高ＡＦ，ＤＥ．
　　并求出两垂足ＥＦ间的距离．
２．根据ＡＦ，ＤＥ，ＡＤ及ＥＦ的长，求面ＡＢＣ与面ＤＢＣ所成的二面角的大小α．
３．高ＡＨ＝ＤＥcosα．

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/10/13 01:36pm 第 1 次编辑]

简解：
１．根据海伦公式得三角形ＡＢＣ的高
　　　　　　ＡＦ＝（√８９９）／６
　　　　 同样可得三角形ＤＢＣ的高：
　　　　　　ＤＥ＝８
　　　 　又根据余弦定理可得：
　　　　　　ＥＦ＝１／６
　　
　　（不好意思，例题给出的数据有些特殊，图也没画好．ＤＥ恰好与ＤＢ重合，但实际上不影响上面的分析思路，照常可以推导公式）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
２．根据空间两异面直线夹角公式，求得面ＡＢＣ与面ＤＢＣ所成的二面角的大小α：
　　　　　　因为　AD^2＝AE^2+DF^2+EF^2-2AE*DFcosα
             所以  cosα＝(AE^2+DF^2+EF^2-AD^2)/(2AE*DF)
　　　　　　　　　　　＝２４／（√８９９）
　　　　　　　故　sinα＝√(323/899)
３．终于做完了:
         三棱锥的高ＤＨ＝ＤＥcosα
                        ＝（√３２３）／６
                  
　　　　

彼洋

谢谢你，辛苦了。我明白了，是不是遇到这种问题应该具体问题具体分析，而真正要找到一个公式的话反倒不如遇到一个具体的问题进行具体的求解，对吗

彼洋

两异面直线之间的夹角公式是什么，老师没有讲过啊？能否解释一下，谢谢！

drc2000

下面引用由彼洋在 2005/10/15 10:19am 发表的内容：
谢谢你，辛苦了。我明白了，是不是遇到这种问题应该具体问题具体分析，而真正要找到一个公式的话反倒不如遇到一个具体的问题进行具体的求解，对吗

是的．

具体求两异面直线夹角，你可以用课本上的一个公式：
设ＡＢ分别是两异面直线上的两点，ＣＤ是两异面直线的公垂线段．两两异面直线夹角为a则：
ＡＢ＾２＝ＡＣ＾２＋ＢＤ＾２＋ＣＤ＾２－２ＡＣ＊ＢＤcosa
（它实际上就是余弦定理在空间的推广形式）

wangyangkee

俞根强，生于当代，鬼混网吧；育新道学，夭折！不闹蠢货，无法生存； 申一言先生，急俞根强之所需；每每为俞根强闹蠢货搭台，拓展场所----------使俞氏良种ygq的马甲得以欺世盗名，蠢货闹得响亮；俞氏门庭无限光耀！