马克思数学手稿中的极限论述

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文化大革命时期，笔者被发给了马克思《数学手稿》 与恩格斯的《反杜林论》，但当时笔者并没有学好，直到现在，笔者再看这些著作才有如下四点体会。第一，马克思在“关于导函数”一节中就指出了了“1/3成为它的无穷级数的极限”[24]，这说明：马克思早已指出：改革微积分学之前必须改革实数理论，即需要把1/3看作无穷级数 的前n项和的无穷数列的极限；无穷次相加是无法完成的。第二，马克思在这一节中指出导数的计算是：“首先取差，然后再把它扬弃这样在字面上就导致无。理解微分运算时的全部困难（正象理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续并因此导出实际结果的”、“（次切线）PT 就是PS所趋向的极限”[24]。这说明：马克思早就指出：导数计算中必须象前文说的那样，把自变量的微分dx看作是“以0+为极限足够小变数，计算导数时，先把它看作不是0，计算出比值dy/dx后，再对右端的商取极限 dx趋向于0，得到数列趋向性质的导数；而且在解释瞬时速度时，应当把这个导数看作足够小时段上物体运动速度的足够准近似值”。