证明一个推广的 Eisenstein 判别准则

wilsony

谁能证明？

wilsony

陆老师能证出这道题吗？

luyuanhong

wilsony

谢谢陆老师！还是有点疑问：

luyuanhong

楼上指出第 3 楼帖子中的疑问，确实很有道理！

我仔细看了一下，其实原题中的已知条件还可以减弱一些，结论仍能成立。

我把原题中的条件 “p 不能整除 a0,a1,…,ak” 减弱为 “p 不能整除 a0 和 ak”，

证明中的 “p 不能整除 b0,b1,…,bs” 也相应改为“p 不能整除 b0 和 bs”，

这样就没有问题了。条件减弱后，结论仍成立，当然第 1 楼原题的结论也成立。

wilsony

多谢陆老师！

luyuanhong

我进一步研究后发现：

其实原题中 “p 不能整除 a0” 的条件也是多余的，只需要 “p 不能整除 ak” 就可以了。

下面是作了进一步推广简化后的 Eisenstein 判别准则和它的证明：

wilsony

陆老师，如果没有p不能整除a0这个条件，是否就得不到结论，存在s,使得p不能整除bs,
但能整除bs+1，bs+2, ...bm，是否有可能对任何s, p都能整除bs.不过由p不能整除ak,是否
还是可以得到结论，存在s,p不能整除bs.

luyuanhong

wilsony 发表于 2020-2-29 12:01
陆老师，如果没有p不能整除a0这个条件，是否就得不到结论，存在s,使得p不能整除bs,
但能整除bs+1，bs+2, . ...

假如 b0,b1,…,bm 都能被 p 整除，也就是说，g(x) 的系数都能被 p 整除。

这样 f(x)=g(x)h(x) 的系数也都能被 p 整除，与已知 ak 不能被 p 整除矛盾。

所以这是不可能的， b0,b1,…,bm 中必有一个系数不能被 p 整除。

    你提出这样的疑问还是很好的，我已经在上面帖子中作了补充修改。

wilsony

谢谢陆大师！