数学理论研究中基本定理及其说明

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定理1数学理论中的基本定理（自然数的两个重要性质）： ①在不受时间的限制的理想条件下，任意大确定的自然数都是能够被人们写出的自然数；②全体（或称所有）自然数是人们永远无法写完其所有元素的想象性质的集合。
证：首先证明定理的第一个论断。由于确定的自然数的位数是确定的，设其为N，又其中每一位上的数字不外0，1，2，……，9中的一个. 设写出这些符号的最长时间为θ，则写出这个确定的自然数的时间不大于Nθ,故在不受时间限制的理想性条件下，任意大确定的自然数是能够被人们写出的。对于定理中的第二个论断，使用反证法：假设有时刻 T存在，使在[0，T]时段内，能把全体自然数写完，现在可以证明这个假设不成立。事实上，由于存在着任意多位数的自然数，每一位的数字必是0，1，2，……，9符号中的一个， 设写出这些符号的最短时间为ε，则总有位数为M自然数的存在，使Mε〉T。这说明，存在着在[0,T]时段内，写不出位数为M的自然数。故定理中的第二个论断也成立。[6]
笔者称这个定理是数学理论中的基本定理，从下文可以看出：它不仅涉及到所有无穷集合，还涉及几何基础、实变函数与泛函分析、数学分析、概率论等所有数学理论。这个定理不仅在现行数学理论中是没有的，而且从现行形式逻辑的观点来看是有矛盾的定理，事实上从定理的前一部分来看，有限自然数有无穷多，从定理的第二部分来看，全体有限自然数写不完，自然数就不能无穷多，因此可以说这个定理的两个部分是矛盾的、是违反形式逻辑法则的。但根据唯物辩证法来看是相容的、是不矛盾的：因为前者是对在“时间无限”条件下讲的，它是一个理想的发展趋向性远景说法；后者是对任何确定的有限时间T讲的，它是一个现实性说法。这两个部分是符合唯物辩证法的对立统一的两个部分，它们之间相互依赖相互斗争才构成了活生生地有生命的数学理论。从这个定理的证明来看，不仅人们写不出,所有自然数，而且也存在着：在任何确定的有限时间内都有写不出的充分大自然数。这个定理的使用是唯物辩证法与纯形式逻辑方法的根本区别。这个定理涉及到无穷与无穷集合的概念，关于这个概念，在文献[7]讲道“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的。潜无穷论者否定实无穷,认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的,无穷只是潜在的”。这说明：笔者的这个定理，既否定了依照康托儿的“数学必须肯定实无穷[7]”观点得到自然数集合是完成了的实无穷集合的论述，而且也否定了大于所有自然数的《非标准分析》中的无穷大自然数存在的模型理论（这个模型的提出应用了ZFC形式语言公理体系中的有争议选择公理）[8]。
笔者的这个定理的证明，应用了反证法，反证法以排中律为基础，所以也用了排中律。排中律是建立ZFC形式语言公理集合论的推理规则[9]，但根据定理1，无穷次操作无法被实现，无穷次判断不是能行可判断问题；对非能行判断问题排中律不能成立，反证法不能使用。所以笔者认为排中律与反证法的应用需要尊重这个条件，其应用结果也需要接受实践检验，在文献[5] 及下文中，笔者指出：布劳维尔使用两次排中律得到实数理轮的三分律反例的推导是违反排中律使用条件的错误推导；他这个三分律反例也不成立。下文中还指出使用反证法得到“实数集合是不可列集”的证明是错误的。那么反证法究竟能不能使用呢？，笔者认为：数学理论中的一切定理及其证明都必须根据“实践是检验真理的唯一最终标准”进行检验与应用的说明，下文的应用说明：笔者的这个定理1是符合实践的、在整个数学理论都必须使用的、必要的定理；只有这样才可以消除数学理论研究中的三次数学危机与许多悖论怪定理。