一道初中题：证明 (1×3×5×7×…×99)/(2×4×6×8×…×100)＜1/10

xfhaoym

现在竟看小孩问题：（1*3*5*7*....*99)/(2*4*6*8...*100) <1/10

INaga2018

这个应该要用二项式解决

xfhaoym

用放缩原理可解。

Nicolas2050

1*3*5*----*99/2*4*6*----*100=1/2*3/4*5*6*----*99/100
证明：思路：放缩法；
设A=1/2*3/4*5/6*7/8*......*99/100
设B=2/3*4/5*6/7*8/9*......*100/101
因为1/2<2/3 3/4<4/5,....99/100<100/101,
所以A<B.
又A*B=1/2*2/3*3/4*4/5*.....99/100*100/101=1/101
而A*A<A*B=1/101<1/100=1/10*1/10
可见A<1/10.
证毕。

xfhaoym

看来多学点思路比记题型好！

luyuanhong

楼上 Nicolas2050 的解答很好！已收藏。

王守恩

Nicolas2050 发表于 2020-3-13 18:27
1*3*5*----*99/2*4*6*----*100=1/2*3/4*5*6*----*99/100
证明：思路：放缩法；
设A=1/2*3/4*5/6*7/8*.... ...

好题！如何解：(2*4*6*8...*98)/(3*5*7*....*99) <1/7

蔡家雄

也可以用“笨方法”：10^1.099 >10，故：原式 < 1/10 .

波斯猫猫

好题！如何解：(2*4*6*8...*98)/(3*5*7*....*99) <1/7

设A=2/3*4/5*6/7*8/9*......*98/99, B=3/4*5/6*7/8*......*99/100,
则A<B，且A＾2<AB=1/50<1/49
可见A<1/7.

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-3-15 16:01
好题！如何解：(2*4*6*8...*98)/(3*5*7*....*99)

好题！如何解：(2*5*8*....*998)/(3*6*9*....*999) >1/10