实无穷与潜无穷之争

elim

开这么个话题，让大家好好聊聊这个千古之争，以及当下学术界关于这方面进展情况．

elim

潜无穷论实无穷论其实都处于自生自灭的竞争状态, 没有国家补贴, 结果潜无穷几乎覆灭. 原因很简单, 单靠反对实无穷无法自立, 潜无穷/直觉主义建造不了自洽的,丰富的数学大厦.

春风晚霞

elim先生画龙点睛，一语中的。实无穷论者从不借助非学术的第三方力量，全凭逻辑推演和广泛的技术应用得以推广，虽其任重道远，确实前途无量。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2020-3-15 08:22
elim先生画龙点睛，一语中的。实无穷论者从不借助非学术的第三方力量，全凭逻辑推演和广泛的技术应用得以推 ...

第一，什么是实无穷？
第二，你到处证明“正整数集合 S1= {1, 2, 3，… n，…} 与其真子集合  S2= {1, 4, 9，… n2,…} 的两个集合 的元素个数相等 的结论符合事实吗？
第三，设1.4142…… 排在 实数集合不可数证明第两亿亿个，你能判断出 i 是两亿亿时 tii 是不是等于1吗？  不能就是不能，不能说数学家能！理论上能；理论需要实践性的说明

elim

jzkyllcjl 发表于 2020-3-15 03:00
第一，什么是实无穷？
第二，你到处证明“正整数集合 S1= {1, 2, 3，… n，…} 与其真子集合  S2= {1, 4 ...

第一，这么多年来我第一次看到 jzkyllcjl 问他【jzkyllcjl 所反对的东西是什么】这样的问题．jzkyllcjl 自知对实无穷不甚了了而发问，那么 jzkyllcjl 可真是有救了！我一定会帮忙的．不过还有另外一种可能，jzkyllcjl 以看透实无穷自居，只是想挑我毛病．人类数学为什么抛弃jzkyllcjl ？可以说就是因为凡jzkyllcjl 反对的，都是他不懂的．所以对于后一种可能，我就不想浪费时间了．jzkyllcjl 不识无尽小数而反对 0.333...=1/3 这种蠢举，不是能用回答问题制止得了的．
第二，N={1,2,3,...} 与 G={1,4,9,...} 可建立一一对应，故两者的势，或说浓度，基数安照定义是相等的．把这件事说成这两个集合的元素的个数相等也未尝不可，但必须对“个数”这个概念加以集论释义．因为“个数”通常(非数学地，传统地)只是有限的，离掰手指脚趾计数不远的观念．而集合论意义上的“个数”已经超越了有限，所以这个概念的释义不可避免地涉及何谓无穷的问题．纯数学(不涉及非数学语言)的回答是这样的：首先由无穷公理确立自然数集N的存在性．此时每个自然数n是一个集合n={0,1,....,n-1}，与某个n(集合 )一一对应的集合叫作有限集，称其个数为n;  与任何这样的集合都不能建立一一对应的集合叫作无穷集. 自然数集 N 就是一个无穷集．不难证明一个集合为无穷集当且仅当它能与它的某真子集建立一一对应．一般地记 |S|为集合S的基数(元素个数)．康托证明了S不能与其的子集全体(S的幂集)P(S)一一对应．这说明有无穷多不同的无穷基数．由于无穷集可与真子集有相同的基数，所以就有整体大于部分这个原理与基数理论的协调问题.  整体与部分在这里是集合及其子集．大小是基数的比较．我们已经看到，整体与部分的关系已经不被它们基数的大小关系所保持(继承)．这是事实，但不是什么矛盾(又不是|G|>|N|)．基数大小关系本来就没有义务要反应整体与部分这种相当狭隘的关系，它真正的用处在于反映“量级，浓度”．稍微有点集论知识的人都知道对圆 E={(x,y) | x^2+y^2=2}, |N|<|E| 所论二集根本没有部份整体的关系，所以基数不是狭隘的有限计数，如果jzkyllcjl 听“个数”一词就生非分之想，就用基数，势这些词好了．敢说 jzkyllcjl 基本上不知道集合，基数这些东西对数学到底有啥意义．离开 ZFC 数学能有啥做基础．
第三，jzkyllcjl 对连续统不可数的证明的反驳不值一驳．这个论坛有过七八个反对ZFC的人．一律都是话说不清楚，没读通过ZFC的．证明没有问题．否则像布劳威尔，克隆尼克，庞加莱这些人精早就挑到毛病了，哪里伦得到老痴 jzkyllcjl? 他们这些人反的是康托的集合论思想，逻辑方法等．讽刺的是他们的重要数学成就在他们的数学哲学标准下严格说来都是不可证的或者是无意义的．他们的数学主张拖了他们数学才华的后腿，更糟的主张把没有才华的jzkyllcjl 拖出了数学．

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2020-3-15 18:00
第一，什么是实无穷？
第二，你到处证明“正整数集合 S1= {1, 2, 3，… n，…} 与其真子集合  S2= {1, 4 ...

对于先生的质问，我还是耐心回答于次：
第一、数学理论中所谓实无穷（哲学中也称真无限）就是在数学基础研究中，把无穷作为一种已经形成了的对象来加以考察。持此实无穷观点的最早的代表是柏拉图。近代除康托尔、戴德金、威尔斯托拉斯等数学家外，也包括恩格斯、黑格尔等哲学家。
第二、我除在本论坛中证明过伽利略猜想的正确性。也在以下两种场合证明过伽利略猜想。一是应邀给中学生讲过，其目的在于引导中学生正确识识有限与无限间的辩证关系，正确运用一一对应思想解决相关的数学问题。二是在也讲定理“无限集必与它的一个真子集对等”时作为导入随例讲过。我觉得伽利略问题中两个集合的元素个相等是符合事实的。你如果觉得我讲得不对，你只需要指出S1中的某个元素它的平方不在S2中。也就足够责令我向学生道歉，并承担误导学生的一切责任了。如果你不能指出S1中哪个数的平方不在S2中，你又凭什么说这两个集合中的元素个数不相等呢？
第三、关于“设1.4142……排在实数集合不可数证明第两亿亿个，你能判断岀i是两亿亿时tii是不是等于1吗？不能说数学家能！理论上能；理论需要实践性的说明”的问题。你不是在“实践”的基础上证明了【0，1】区间可列吗？并且还在此基础上把康托尔和夏道行等人痛骂了一番。想必把你已列出i取两亿亿或者三亿亿、五亿亿时tii的取值情况，从而轻而易举地回答当“i是两亿亿时tii是不是等于1”的问题。其实夏道行先生的反证法是正确的。如果你认为他的证明不对，只须去找出那么一个i，使tii既等1又不等1，那样他的ai就无法取值。于是他的反例就作不岀来，从而他的反证法思想失效。但你能找到这个既等于1又不等于1的tii吗？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2020-3-15 23:57
对于先生的质问，我还是耐心回答于次：
第一、数学理论中所谓实无穷（哲学中也称真无限）就是在数学基础 ...

第一，你说的”把无穷作为一种已经形成了的对象来加以考察”是需要的。但柏拉图。康托尔、戴德金、威尔斯托拉斯等数学家 把提出的“无穷集合是完成了的整体的实无穷，数学必须肯定实无穷”的观点是违背实践的，事实是无穷集合都具有如下的对立统一两个方面。即：①一方面，无穷集合的元素个数都依赖于它们的通项构造法则，它们的元素个数都是无限增长着的趋向性极限性质的、想象性质的非正常实数+∞，它们也因此，才可以叫做无穷集合。②另一方面，无穷集合都具有“在任何有限时间内，都延续不到底的性质”。所以，任何无穷集合都不是“已经构造完成了的实无穷”意义的无穷集合。无穷集合的上述两个性质，是相互依赖的，事实上，它的无穷性依赖于不可完成的性质，如果完成了就不会是无穷的；反过来，不可完成性也依赖于无穷性，如果是有穷的，那么就可以完成了。两个性质之间是相互斗争的，各有各的用处；分工合作才构成有用而正确的无穷集合理论。事实上，根据不可完成性，无穷集合的元素个数就不是定数，就不能提出康托儿的无穷序数与无穷基数理论；这样一来，康托儿提出的“连续统假设的大难题”[10]就不存在了。根据无穷性，无穷集合的元素个数是无穷多的，依照习惯，理想自然数集合可以记作N，它可以满足生产实际的需要；依据定理1.1，还可以指出：理想自然数集合中的元素，都是可以写出的有限自然数；《非标准分析》中提出的大于N中所有自然数的无穷大自然数不存在，实践是检验真理的唯一标准，非标准分析中的那种无穷大自然数没有必要性；根据下文的论述，《非标准分析》无法解决他建立这个理论的 “解决的第二次数学危机”的目的。笔者的这种无穷集合理论是对立统一法则下的唯物辩证法、辩证逻辑性质的无穷集合理论。
第二，虽然S1中哪个数的平方不在S2中，但S2中少了S1中非平方数，所以 这两个集合中的元素个数不相等。运用一一对应思想提出函数概念是需要的，但一一对应法则不能用来比较无穷集合元素个数的多少，它造成了实数集合可数与不可数的矛盾（ 这个问题已在我的论文中用表2 说明了）。
第三， 你说你“想必把你已列出i取两亿亿或者三亿亿、五亿亿时tii的取值情况，从而轻而易举地回答当“i是两亿亿时tii是不是等于1”的问题“”是你的相比，不是我的，我说的是第两亿亿位处数字很难算出来。你说的“其实夏道行先生的反证法是正确的“”。但是根据反证法以三分律为基础，三分律 对不可判断不能用，反证法 也不能用。用了 就与他的可数理论矛盾。我无法做你无穷个工作，我不能找出使tii既等1又不等1，但 康托尔也不能，你说你有规律，但无穷次判断做不到也是事实。违背事实必然出乱子。  

elim

向外行解释实无穷的方法很多,效果怎样很难说. 其实实无穷这个概念严格地说反而很简单. 就是接受包括无穷公理在内的集合论. 说白了就是承认现成的无穷集合的存在, 也承认集合的构建公理(从给定集合确定并得到新集合的法则). 就像欧氏几何一样, 点线面怎么来的, "形成过程"怎样根本不被考虑, 要考虑的是如何从现有的几何对象确定并得到新的几何对象.

"已经形成"是一个比较容易误解的说法. 什么是已经, 什么是尚待, 什么是形成, 是被形成还是自行完成? 如果是被形成, 谁是构建者? 具体的构建操作是什么? 操作是否有限, 耗时几许这些乱七八糟的问题都来了. 在数学世界中物理时间没有地位. 给定一个多项式方程, 它的根就被确定了. 具体求法因人而异,虽然耗时, 但也没有客观的定量方式, 也与问题的本质无关. 我要强调的是, 对实无穷论者来说, 数学对象本质上说观念世界中的客观存在, 合法性,存在性以及特殊属性由且仅由公理保证. 而不以认知主体的主观经验为转移, 也不受认知主体能否遍历无关. 否则必然落入主观唯心直觉主义的陷阱, 在门外汉似是而非的胡扯中离题万里.

jzkyllcjl

你说由公理保证，那么公理由谁保证？希尔伯特的几何基础 存在着不同的平行公理，你用哪个公理保证？

elim

这是数学能够具备和必须具备的真理性举措．换句话说，在一个数学系统中，数学真理都是相对于系统公理的真理．至于公理系统与现实世界的关系，那是数学建模的问题．拿物理学来说，广义相对论选择黎曼几何，牛顿力学则选择欧氏几何．量子物理需要处理随机现象等等．
这才叫唯物辩证懂吗？

你不喜欢某个数学系统，那就另起炉灶好了．布劳威尔等人不是没有尝试过，货出来了吗？有人买吗？优点在哪？希尔伯特让布劳威尔出局这事，照今人看来，布劳威尔就不该去希尔伯特的系统中去搅和，应该另辟蹊径自搞一套，以实力说话；希尔伯特应该更大度和更有自信，允许另类数学观的存在，从更高的观点看数学．