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李金国就费马大定理的证明对话"上帝"
作者：李金国(moranhuishou，xxljgxs ，斯露化雨，孤行客)
关键词 就一个： 简单
昨晚梦见了上帝，就费马大定理的证明与上帝进行了对话——
(我)问：请问，费马大定理
x^n+y^n=z^n
无整数解，是一个什么样的命题？为什么几百年没有人能够证明？
上（帝）：这个题目是为了测试人类的智商而借费马之口出的一个类似脑筋急转弯简单智力题，几百年来人类没有证明，表明人类的智商还是非常低下的。类似这样的题目还有很多，包括哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想、庞家莱猜想、四色问题等。今天暂且不谈别的。
问：那么，证明这样的题目有什么意义呢？
上：首先，刚才说了，这是是智力体操，智力竞赛。和体育竞赛一样，请问，人类刷新百米世界短跑世界纪录有什么意义呢？
其次，通过解题，可以锻炼人类的逻辑思维能力，对数学逻辑有一个全新的认识，可以用同样的方法举一反三解决其它的数学问题或者其他学科的问题。
更重要的，这是基础理论，如果人类的基本思维能力不进行锻炼，没有进展。人类的创造思维能力就会停滞，就会倒退，人类就会消亡，这实际上是很可怕的，不过一般人认识不到这一点。
问：您对怀尔斯关于大定理的证明怎么看？
上：这是一个很简单的题目，用到的仅仅是逻辑思维能力，用到的仅仅是中学部分的基本数学知识，根本不像数学家们说的那样，没有任何“高深”的东东。把这么简单的题目弄的如此繁琐，弄的面目全非，让我也大跌眼镜。所以说，怀尔斯的证明尽管是“正确”的，但没什么意义。
问：我把您书上的证明公布了，但除了个别人认为正确之外，更多的人则不能理解，甚至对这个证明进行恶意的诋毁攻击。
上：意料中事，你看到并公布的证明已非常简单，但还不是最简单的，最简单的证明人类更不能理解或者说更不敢相信所以没有公布。人们不相信，第一是前面说过的智商低下。第二是人类一般都很迷信“权威”，能自己动脑子思考问题的不多，缺乏自信，缺乏逆向思维能力。不敢相信数百年的世界难题会这么简单被证明。
问：证明大定理的关键是什么？
上：这个证明的基本思路是确定两个未知数为正整数而证明另一个未知数必非正整数。证明的关键是
费马方程当n为奇数p时只有一个解，当n为偶数时有两个解。
几百年来，人类所以没有证明大定理，根本原因就是没有认识到这一点，可以说所有的数学家都是“栽”在了这个认识上面。而认识到这一点，问题就会变得非常简单，命题就会迎刃而解。反之如果将两者混淆，这个简单的小弯子是永远也绕不出来的。
问：这应该是很简单的道理。
上：是的，这没有什么好证明的，仅仅是一个发现认识的问题：一个给定的正整数的p次方根是唯一的，给定了费马方程中两个未知数的值，那么其和或差必定是正整数就被唯一确定，第三个未知数也就是这个被唯一确定的正整数的p次方根也就被唯一确定。
式子表示就是
y=(z^p-x^p)^(1p)
而当n为偶数时确定两个未知数为整数之后，另一个未知数显然有正负二解。
三个未知数无论作怎样的调整都一样。
问：还有人提出，费马方程有p个不同的复数解呢。
上：前人已经证明，只要n为奇素数时大定理成立即可，所以这个证明着重考虑n为奇数p时的证明，费马方程有p个复根与大定理的证明没有任何关系，这些人实际上根本就没有弄清大定理是证明什么。命题是证明一个实数未知数是否是正整数，就是只需证明y的这一个实根
a’=(z^p-x^p)^(1p)
是不是正整数。所以我们只需考虑这一个实根而把它拿出来“单练”即可，所以
方程的任何变换都完全在实数域进行。
把简单问题搞复杂的叫做庸才，这也是人类特别是数学家们的通病。
问：那么，大定理证明的最简单表述应该是什么呢？
上：只要一个反例：
设x=1,y=1为整数,无论p>2为任何奇数，2的p次方根都不可能为整数，所以费马方程无整数解：
问：噢？不妨解释一下。
上：确定费马方程中任意两个未知数之后，这两个未知数就变成了常数项，方程就由一个有3个未知数的不定方程转换成了一个只有一个解的一元p次代数方程，例如确定z,x为正整数，费马方程就变成了
y^p-[z^p-x^p]=0 (1)
因为(1)只有一个解，所以假如这个解是正整数，必定与只有一个解的任意其他形式的p次方程例如
y^p-a^p=0， (2)
(y-a)^p=0， (2)
…
同解，方程(2)是代数方程，无论给定a为任意正整数,方程都成立。而费马方程p为奇数时则显然不可能。而只有给定了a’=[z^p-z^p]^(1/p)时方程才与上式同解，所以这个a’ 不是正整数而是无理数（不是正整数必定是无理数）。
问：我想，这样的解释还是难以被人们理解，因为有人马上就会指出：你这个反例不能说明任何问题，要是费马方程对给定的正整数有的成立有的不成立呢？例如，我们给定z=3, x=2, p=2费马方程无解，而给定z=5 , x=3就有3^2+4^2=5^2 ,费马方程成立。
上：这就是人们最容易迷糊的地方，也可以说这也就是为本命题所设的一个陷阱。p=2时，费马方程有两个解，这与一个解的方程是完全不同的。简单的表述就是：只有一个解的费马方程要么是正整数，要么是无理数。而p=2时费马方程有两个解，正好一个是正整数，一个是无理数。
问：这恐怕更难理解了，例如，确定了z x为正整数，那么y有两个解，但这两个解是一正一负而不是一个是正整数，一个是无理数。
上：表面上是这样，但这里讲的是实质，讲的是这样的表象所导致的结果。理解这一点是稍微有点难度。不过只要看看下面这个方程式就会十分清楚,设定x=y-r,z=y+t.费马方程用二项式展开变为标准的p同根框架结构方程
y^p-p(r+t)y^(p-1)+…-(r^p+t^p)=0, (3)
y^2-2(r+t)y+(r^2-t^2)=0, p=2, (3)’
（3）’式有两个解（需要注意的是,经过这样的变换，方程由有正负两个解变成了两个正解），所以不适合
（y-a）^2=0
而是适合式
y^2-(a_1+a_2)y+a_1*a_2=0
可解得
y_1+y_2= a_1+a_2=2(r+t),
y_1*y_2= a_1*a_2= r^2-t^2 （4）
或
y=2(r+t)-( r^2-t^2)/y （4）’
也就是说，当p=2时，费马方程有整数解成立是由（4）的两个条件限制的，就是除了r t必须是正整数外，还要满足（4）。所以， 只有r t也就是x z满足条件，方程才有正整数解；而若r t不能满足条件，方程就没有正整数解。因为只有部分r t能够满足（4）给出的条件，所以(4)只对部分整数x y成立,也就是说： p=2的费马方程有一个（一部分）解是正整数，一个解（另一部分）不是正整数。
问：这么说，只有一个解的奇数次方程就不需要条件限制了。
上：如果奇数次方程有正整数解，那么，只要x z为正整数，y就必然有整数解，方程就必然成立。这一点看看（3）就更加清楚。
若（3）式有整数解，设此整数a=r+t+s,则（3）必可化为
y^p-p(r+t+s)y^(p-1)+…-(r+t+s)^p=0, (3)’
(3)’若成立，显然r t 适合任意正整数,也就是x z适合任意正整数，而通过前面的反例可知，（3）’不可能成立。
反过来说，当n=2时假如方程同样只有一个解，那么它同样可以用任意正整数验证，不过这个假如是不存在的。
还有一个有力的佐证就是p=1时，方程x+y=z，x y可取任意正整数方程都成立，其原因正是方程只有一解
问：那么，（3）不可化为（3）’，是不是能够化为其他的只有一个解的正整数p次正整数方程呢？
上：这显然是同样不可能的，因为“其他”的任何形式的方程同样适合所有的正整数。并且实际上“其他”形式的方程都可视为标准方程的变形，在正整数域都可以相互转换，因为所有的这样的方程都是同解方程，都存在着y=a这样的简单关系，例如标准方程为
y^p-pay^(p-1)+C(p,2)a^2y^(p-2)-…- C(p,p-2)a^(p-2)y^2+pa^(p-1)y-a^p=0
因为p=a,所以
-pay^(p-1)+pa^(p-1)y =0，
C(p,2) a^2y^(p-2)- C(p,p-2)a^(p-2)y^2=0
…
所以，方程可变为
y^p+C(p,2) a^2y^(p-2)-…- C(p,p-2)a^(p-2)y^2 -a^p=0
…
y^p-a^p
又因为C(p,i)=C(p,p-i),也就是这个标准方程的模式为
A-pA+C(p,2)A-…- C(p,2)A+pA-A =A-A=0。
所以相应系数都可以做随意的等值变化而均不影响方程的成立。例如，方程亦可将二项式全部去掉而变为
y^p-ay^(p-1)+a^2y^(p-2)-…a^(p-2)y^2+a^(p-1)y-a^p=0
等等，反之。任何的只有一个解的p次方程也都可以化为标准式。
也就是这样的方程的两个共同特点：
一是 a无论是任何正整数方程都成立。这是很简单的道理.因为,这是代数方程。
二是这是正整数方程中最为简单的一类方程，无论方程怎样变化，都可以直接进行简化“约分”，最后将方程化简为最简形式y-a=0甚至1+1=0。
从这个意义上讲，所谓“其他”实质上是不存在的。
问：噢？您说的第一条容易理解，但第二条就有点迷糊了，不妨再举个例子说明一下。
上：例如标准p同根方程展开式
y^p-pay^(p-1)+C(p,2)a^2y^(p-2)-…- C(p,p-2)a^(p-2)y^2+pa^(p-1)y-a^p=0
因为，y=a,所以
y^p，ay^(p-1)，a^2y^(p-2)，…，a^(p-2)y^2，a^(p-1)y，a^p，都是等值的。所以可以完全“约”掉，而只剩下二项式的加减，方程变为
1-p+C(p,2)-…-C(p,p-2)+p -1=0
而“约分”后的中间二项式-p+C(p,2)-…-C(p,p-2)+p又显然是两两对应符号相反等值关系而为0值，所以就剩下1+1=0了。
问：还有一些方程虽然也是一个解y=a,如
y^p-(a+1) y^(p-1)+ (a+1) y^(p-2)-…-a
好像不大好做这样的“约分”。
上：这样的方程实际上它的解“不是”y=a，不知你能不能看出来？
问：啊？怎么不是，不可能吧？
上：知道你看不出来，这个方程的解实际上是
y=a+1-1，
当然这实质上是一样的。因为y=a+1-1或y=a,所以上述方程等同于
y^p-(a+1) y^(p-1)+ (a+1) y^(p-2)-…-y
第一步“约分”后化为
y^(p-1)-(a+1)y^(p-2)+ (a+1) y^(p-3)-…+y
如此继续，直至
y-a=0,1+1=0.
更一般些，解可为y=a+b-b还可再复杂些，但都具有上述两个特点。
问：经您这么一分析，真的是很简单。如果总结一下呢？
上：其实正面观察,也可以用多种方法很简单地证明（3）无解：
1、方程只有一解，根据代数基本定理，只有当p=1时才能成立，若方程p>1时成立，则必为p同根方程，（3）式是二项式框架，而也只有p同根方程可以展开成这样的框架，而（3）之系数显然与p同根方程的系数等价，所以不可化为p同根方程，故无（整数）解。
2、就说常数项r^p+t^p=a’^p, 即使a’是正整数也不等于r+t+s ,并且可以简单地证明a’不可能是正整数。而这样的方程如果成立其必要条件之一就是r^p+t^p=（r+t+s）^p。
3、其他各项的系数r^i±t^i=a’^i也和常数项完全相同不能不可能是i>1次方数，不能满足方程成立的必要条件。也就是可以很简单地证明这个a’必定是无理数。
4、一个成立的正整数的代数方程，其实结构非常简单，一个字母（例如y）代表是未知数，一个字母代表的就是未知数的根（例如a），而系数与常数项就是根的四则运算式，特别是这样的只有一个解的简单方程，y和a的方次都完全是数值相等正负符号相反一一对应的，这个解必须在系数与常数项中明显显示。而（3）式中的系数与常数项根本就不存在a=r+t+s,所以（3）绝对不可能“凭空”解出来个正整数a。而无理数方程显然不受此限。
5、方程（3）明显不存在上述的适合任意正整数与可“约分”两个共同特点。
问：我们知道，大定理只需证明p>2为奇素数时费马方程无整解，所以这个证明已经圆满完成。但这是建立在前人对大定理的证明的基础上的。如果n>2为偶数时，要利用本证明中费马方程有两个解的结论来直接证明又会怎么样呢？
上：这个当然完全可以也非常简单：
前面已经指出，当n为偶数时，方程如果有整数解，必定有两个不同的整数解。方程的分解式必能表示为
(y-a)^p*(y-b)^(n-p)=0
设p=1, 假设y-a=0可有整解。但因为n-p>=3为奇数，所以(y-b)^(n-p)=0不可能有整数解，也就是b为无理数，所以y-a=0亦不可能有整解。具体到（3）式就是ab^(n-p)≠r^ｎ-t^ｎ（常数项），所以方程不可能成立.
设n>4,p>1为奇数, n-p>=3亦为奇数，则显然(y-a)^p=0，(y-b)^(n-p)=0均不可能有整数解。
设n>4, p>1为偶数，显然(y-a)p=0只有一个解并且不可能是整数，(y-b)^(n-p)=0亦然。
问：我想，通过您这样的解释，一部分人会对大定理的证明有新的认识。但要被所有的人都理解“接受”恐怕仍然不可能。
上：人的悟性、智商是有较大差别的，这是没办法的事，不要说这样的题目，就是再简单些也有人不理解，这是没法强求一致的。
问：还有两个问题没有讲明白，一是方程r^i±t^i=a’^i，i>1, a’都是无理数。
上：这个证明同样简单
r^i±t^i=a’^i
与费马方程形式相同，若费马方程无整解，上式自然无整解；若费马方程有整解，那么必定存在x_0,y_0,z_0为一组最小“勾股数”（p_0次方有整解的一组最小整数解）,而若上式有整解成立，则显然有r_0,t_0,a_0为更小一组“勾股数”，这与x_0,y_0,z_0为一组最小“勾股数”矛盾。
问：再一个问题是，您在前面多次提到，不是正整数就必然是无理数，那么，就不可以不是正整数而是有理数吗？
上：这个问题是这样的：一个任意正整数的n(n=1,2,…)次方根如果不是正整数，那么必定是无理数，而不可能是非正整数的有理数。用反证法证明如下：
设a是任意正整数，若有
a(1/n)=j/k, (k,j)=1,
则
a= j^n/k^n
显然,上式只有当k=1时成立，且有
a=j^n
问：上帝的证明就是简单。
上：不是谁的证明简单，大道惟简，是证明本来就是这样简单，试想，造物主可能把这么简单的命题搞得那么复杂吗，世界上很多事物的规律本来都是很简单的。所谓“复杂”大都是人为的。都是被一些自以为聪明实则是庸才的搞复杂的。
唠叨了半天，也就罗嗦了这么两个字：简单。
今天就谈到这里吧，有什么疑问还可以随时提出。
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发表于 2009-7-25 20:25
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