证明：若整系数多项式 f(x) 在 4 个不同整数值上取值 1，则不能在其他整数值上取值 -1

wilsony

谁能证明？

波斯猫猫

证明：若整系数多项式 f(x) 在 4 个不同整数值上取值 1，则不能在其他整数值上取值 -1。

思路：若整系数多项式f (x）在 4 个不同整数值上取值 1，则方程F（x）=f (x）-1=0有四个不同的整数根a、b、c、d，即F（x）=f (x）-1=A（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）=0（A是不为零的整数）。假设命题不成立，则f(x) 在其他整数值上能取值 -1，即方程f (x）+1=0有异于a、b、c、d的整数根m，也就是F（x）+2=f (x）+1=A（m-a）（m-b）（m-c）（m-d）+2=0。显然，满足A（m-a）（m-b）（m-c）（m-d）=-2的四个不同的非零整数m-a，m-b，m-c，m-d中至少有两个整数的绝对值不小于2，所以该等式不成立。矛盾。故假设不成立，原命题得证。

luyuanhong

wilsony

谢谢波斯猫猫。

wilsony

多谢陆老师的精彩解答！