数感星球CEO RickJin演讲——遮蔽数学风景的高山

luyuanhong

数感星球CEO RickJin演讲——遮蔽数学风景的高山

作者 | RickJin
来源 | 数感星球

华罗庚教授曾说过“就数学本身而言是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的。”但数学家眼里的数学之美并非每个人都能感受到，对于更多的人来说，数学是抽象的、枯燥的、晦涩的。为什么对数学“美”的认知会有如此极端的两极认识呢？

今天为大家分享我们数感星球CEO RickJin在墨门大学的演讲——《遮蔽数学风景的高山》，他的演讲也许会让你豁然开朗，翻过遮蔽数学风景的高山，带你感受不同寻常的“数学之美”。

数学引发好奇心

在数学家的眼里，数学和音乐是有很多相通之处的：秩序、简洁、优美。下图的这个公式，号称是十大最美的数学公式之一。



自然数倒数的平方和居然正好等于六分之π的平方，公式齐整、简洁而有秩序，自然数的序列居然连接到了圆周率。

再看下面这张图，自然对数常数e，可以表示成自然数序列的连分数，同样规律而齐整到令人惊讶。



这种规律和秩序的美感，与音乐带给人的美感有着异曲同工之妙。

上图中的公式，引发了无数人的好奇心，每一个见过这个公式的人都会问，“自然数怎么会连接到圆周率π呢？”如果你多学习一点高等数学，就会发现数学家欧拉当年发现的这个公式并不难理解，而你一定会发出惊叹声：啊！原来是这样。

规律和秩序只是数学之美的基础表现。如果你看到这样的公式会心生疑问：怎么会这样？那数学成功的引发了我们的好奇心，从而进一步引发我们的思考，而这才是数学教育中最重要的。

luyuanhong

小孩子对数学充满了好奇

幼儿从来不会觉得数学是枯燥的，孩子们从小就喜欢玩数数游戏。例如我自己的女儿，在她五岁时，我带她玩6+7、5+8、7+6的计数游戏，她有一天非常兴奋地告诉我说：“爸爸，6+7和7+6居然是一样的！”

她发现了加法的交换律，她体会到了发现这个规律后带来的惊喜感。虽是简单的小故事，却体现出了孩子对数学之美的感受能力。

然而现实的数学教育又如何呢？2015年TIMSS(国际数学与科学教育成就趋势调查) 报告显示，国际上，20%~30%孩子都是对数学没有信心的，甚至讨厌数学的，而亚洲地区更加厉害。台湾地区的孩子40~60%都讨厌数学，尤其四到六年级以后。


（PS：大陆地区没参加本次调查）

看到这个数据我们应该反思一个问题：幼儿园的孩子们都是充满兴奋感的学习数学知识的，但是到了初中的时候，一半的孩子开始讨厌数学，觉得数学是无趣的，这种现象是什么原因造成的？也许从一些日常的基础数学教育里，我们可以窥见一些问题。

luyuanhong

数学教育里真正重要的是什么？

请大家计算一下这个分数除法：



现场每个人一定都会算。

倒数相乘：3/5÷2/3=3/5×3/2。

但现场谁能给一个五年级的孩子解释清楚：为什么 3/5÷2/3 会等于 3/5×3/2 ？

如果不是小学数学老师，超过95%的人(无论你是否大学毕业)都解释不了。这个暴露了一个问题：我们在数学教育里面，学会了计算，学会了解题，但却把数学原理给抛弃了，把数学思考抛弃了，而这些本应该是数学教育里真正重要的部分。

我们为什么要要学计算？单纯的计算，如今完全可以依赖强大的计算器来完成。我们本质上需要学的，更应该是是计算背后的原理与思考。

luyuanhong

教育里应该强调这样的思考模式？

大家再看一个除法的例子：



我想每个人都会计算。



但我问一个同样的问题，有谁能给一个孩子解释清楚？为什么除法是按照这个步骤算？在算的过程中，26、25、18、15，这些都代表着什么？

我们的数学教育，告诉了我们除法应该怎么算，却不一定告诉了我们除法为什么要这么算。

但从原理解释上来说，这并不复杂。

把768块钱分给五个孩子，所以我们要7个100、6个10、8个1。

首先，7个100分给五个孩子，一人分一个100，分出去了5个100，剩下2个100。



2个100不够分，所以我们把2个100去银行换成20个10，再加上原来的6个10，一共是26个10。26个10再分，一人分5个，分出去25个，剩下一个10又不够了。



继续去银行兑换，把1个10兑成10个1，再加上原来的8个1，18个1继续分。



这整个物理的逻辑非常清晰。为什么除法是这么做，它是可以对应到一个非常好的操作过程的。但有多少人给孩子做出了这个解释呢？我们的教育里面也不强调这一点。

要做对除法题就三个点：会加减，能记得乘法表，知道做除法的顺序是从高位到低位。但能做题目不代表了解背后的数学原理，更多的人只是机械地记忆公式和过程。

所以，如果我们要强调我们数学教育的话，要强调的是这种思考的模式是什么？

luyuanhong

传统数学教育方式为什么不好？

高斯从小就会算1加到100。我们常规的教育中，是高中学习等差和等比列知识时才学。但现在的教育，三年级的孩子去上过课外辅导班，基本上都会。

从1加到100是等于（1+100）×100÷2

但你问孩子为什么？有很多都答不上来，他们把它变成一个机械性的公式记忆了。

回到我们的标准教育过程，在教这个知识的时候是这样操作的。可以把1到100正着写一遍，倒着写一遍，然后凑成了一百个101，然后加起来。



接着我们的教育过程就会出不同的题，让你去套用这个过程去计算。

这是一个标准教育里做数学教育的典型做法。这个做法有没有错呢？没有错，但是好不好呢？不够好。

这样的教学模式，是直接告诉孩子一个结论、答案，这破坏了孩子的好奇心。

就好比你从图书馆借了一本悬疑小说，读了一半却发现有人用笔圈出凶手的名字，你会因为被剧透而抓狂。学习知识也一样，人在学习知识的时候，最重要的一个点是好奇心。而传统的教育模式破坏了孩子的好奇心，使得整个学习的过程中缺乏快乐的享受。

luyuanhong

如何更好的给孩子传达知识与快乐？

假设一个三年级的孩子，没有学过1加到100这个知识。应该怎么做，能更好地引发孩子的好奇心？

我们来编一个故事：高斯这个大数学家，他要建一个旅馆，但是他喜欢的是三角形的旅馆。

在旅馆里面，每一个黄色的点都代表1个房间，一层一层往上建。现在我们让孩子们来数，这个三角形里面有多少个房间？



把这道题丢给一个三年级的孩子，孩子们数的方法五花八门。我们可以引导孩子一个数的方法，从最顶层到最底层，123456，很有规律的一直递增下来。

这里可以表达为，1加到6的计数过程。然后让孩子真的计算一遍，他们肯定能计算出来。

高斯的旅馆生意很火，它扩建成了10层，问扩建以后怎么计算？一共有多少个房间？孩子也容易可以数出1到10，在1到6层例子的引导下，孩子可以给出1加到10这么一个结果。



继续问，如果这个旅馆扩建到100层会有多少个房间？有了之前的铺垫，孩子肯定能认识到这个三角形模式下，有1加到100这么多个房间，只是这时候手动的加法计算就不那么容易算出来最后的答案。

luyuanhong

如何跟孩子去共享知识发现的经验?

另外一个大数学家欧拉，他和高斯的喜好不同，他不喜欢盖三角形的旅馆，而是喜欢盖长方形的旅馆：每层的房间数比旅馆的总层数多一个。



一看长方形，学过乘法表的，马上就能够知道有几个房间。

如果我们让孩子来观察这两个旅馆之间的关系，孩子其实很容易能观察出来里面有个对称结构，一个长方形的欧拉旅馆里面，一定能找到两个三角形的高斯旅馆。



孩子从视觉上就马上能够判断出来，一个高斯旅馆一定是一个欧拉旅馆的一半，也就是说，1加到6应该等于等于6×7÷2。

通过这样的呈现方式，让孩子对知识发现的过程变得更加自然。

同样，有了6层的这个例子。孩子很容易就知道，如果旅馆扩建到10层，那10层的高斯旅馆是10层的欧拉旅馆的一半；如果扩建到100层，100层的高斯旅馆也会是100层欧拉旅馆的一半。



用这样的一个过程去代替数学知识原始的传递过程，而不是直接告诉孩子一个答案，能保持孩子在数学学习过程中的参与和思考。

如果直接告诉孩子一个知识，在数学里面叫降落伞教学法，这个知识是从天上掉下来的，孩子不知道它的来源是什么。

但如果你构建了一个更好的、更细分的一个情境，这个情境是孩子可以够得着的，他就可以从很小的阶梯慢慢地爬上去，并享受这个过程的快乐。

所以我们的教育里面，需要给孩子构建的是这种思考的阶梯。当他学习数学知识的时候，他的参与感就更强了。从数学教育学的角度，很重要的个观点是：我们如何跟孩子很自然的共享人类知识发现的经验。

luyuanhong

小学数学真的简单而枯燥吗？

今天我讲的全是小学数学的例子。大家往往觉得小学数学简单、无趣、是机械性的计算。但我今天要告诉大家完全不一样的观点：第一小学数学很难，第二小学数学很美。



我给大家分享两个故事。第一个故事记录在巴黎卢浮宫的一个文件，文件是15世纪的，记录了一位家长与数学家的对话，家长问他的数学家朋友：我的孩子要上大学了，到底上哪一所大学更好？数学家朋友回答说：A大学很不错，但如果你的孩子想要掌握好“分数”这个知识点，应该是上B大学。

所以500年前，分数在欧洲只是是在大学才学习的，现在任何一个六年级的小学生，穿越到15世纪，都能够在计算能力上，超越当时所有数学家。

德语里有这样一个谚语，“掉进分数里”，意思是已经束手无策，只能坐以待毙了。所以分数的知识在人类历史上，是非常难的一个知识，但它现在出现在我们的小学数学里，大家觉得很简单。其实简单的只是分数的计算公式，而分数的概念和计算原理，绝对是不简单的，否则也不会出现大家解释不了 3/5÷2/3。

再问大家一个问题：大家认为世界上最强大的语言是什么？中文？英文？我想说这两个都不是最强大的语言，最强大的语言是阿拉伯计算系统，历史上每一个强势文化，都产生过自己的计算系统，罗马的计算系统在欧洲用了一千多年，中国的计算系统，包括我们的算盘也用了上千年，但是最终都被阿拉伯数字系统给干掉了。为什么？全世界70亿人口，有人不学这个系统吗？这是偶然的吗？

我们认为如果有外星星球的话，外星人设计出来的计算系统，和我们的计算系统会高度一致。因为这是人类智慧能够设计出来的，最简洁、最优美的计算系统，所以这样的计算系统才能够征服全人类。

所以如果我们站在一个历史的角度去看，会发现，计算系统是非常简洁优美的，但是我们的教育不讲这些知识。

luyuanhong

数学对你而言，除了解题还剩下什么？

最后，我想和大家分享一下我最喜欢的两位数学教育家 Paul Lockhart 和 Ron Aharoni 关于什么是好的数学教育的关键观点：

一、数学是关于问题的学科，所以一定要围绕问题不断地追问，才会有意思；

二、数学是说明的艺术，要想数学学习变得有意思，一定要在中间去探索、去追问、去拼凑，你经历挫折才会有惊喜感；

三、数学有非常精细的结构，我们认为分数计算就是一个简单的概念，实际上里面有非常复杂的原则，所以大家都解释不出来。数学精细的逻辑层，是一点点搭建起来的。

四、小学数学其实很美，它包含了人类历史上非常重要的发现，你觉得它不美，因为我们的教育里做了太多的机械性教育。



所以，数学其实是很有意思的！ 那为什么我们这么多人看不到它的趣与美？什么是遮蔽了数学风景的高山呢？背公式、大量的刷题，缺乏对数学知识历史来源的认识，还有最重要的一点：省略思考过程。

最后，我想问大家一个问题，数学对于你而言，除了解题还剩下什么？

分享美国的一个数学家的一句话作为回答：

Mathematics is not just solving for X，it's also figuring out WHY.

数学不单单是解题，数学另外一半应该是解释为什么。



*作者介绍：

RickJin(靳志辉), 北京大学人工智能硕士，日本东京大学人工智能博士，曾经任职腾讯担任人工智能专家工程师与技术研发总监, 10年青春奉献给了鹅厂。

数学书收集癖患者，工作之余喜好研读数学史，自娱自乐。日常也乐于分享，数学科普文章《正态分布的前世今生》、《神奇的伽马函数》(已出版)、《 LDA数学八卦》，受到了网友广泛好评。

女儿奴一枚，乐于思考如何和两闺女一起玩数学，数学学霸老爸遭遇了数学学渣闺女，于是发奋研读儿童数学教育学，在辅导女儿学习数学的路上一路磕磕碰碰, 逐渐有所领悟。

2018年离职腾讯，创立火光摇曳教育科技有限公司， 致力于把可视化、游戏化、人工智能技术和传统数学教育相结合, 努力把数学的趣与美传递给孩子们。