[原创]万以上合数与素数的识别

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[watermark]万以上合数与素数的识别
湖南新化 袁锡煌
一、万以内素数表的三个特点。
有了万以内的素数表，万以内合数与素数的识别查表则可，万以上的合数与素数怎么辨别呢？这还得从万以内的素数表说起。作万以内的素数表时已说明，个位为2、4、6、8、0的数不是素数，这类数在自然数列中占60%，减去这类合数外，剩下的个位为1、3、5、7、9的数占40%，且不一定都是素数。故自然数列中素数最多是40%，200以上的自然数列素数都在20%以下。
查万以内的素数表，可见万以内的素数表有以下特点：
（1）素数随数列数值的增加而减少，在1-10内，素数有4个，占40%，1-100内素数25个，占25%，1-1000内素数168个，占16.8%，9001-10000内素数110个，占11%。
详见表一：
表一 万以内素数百分率下降合数百分率上升情况表
千以内情况表万以内情况表
自然数段素数（%）合数（%）备注 自然数段素数（%）合数（%）
1—1040%60%记在合数内1—100016.8%83.2%
1—10025%75%101—200013.5%86.5%
101—20021%79%201—300012.4%87.6%
201—30016%84%301—400012.0%88.0%
301—40016%84%401—500011.7%88.3%
401—50017%83%501—600011.4%88.6%
501—60014%86%601—700011.6%88.4%
601—70016%84%701—800011.5%89.5%
701—80014%86%801—900010.7%89.3%
801—90015%85%901—1000011.0%89.0%
901—100014%86%
（2）相临两素数差随数列数值增加而增加
100以内相临两素数的差最大是8,到9000以上的9551-9587之间的差高达36.详见表二。
表二 相临两素数差情况表
相临两素数差相临两素数差相临素数差
2—3137—41483—896
3—5241—43289—978
5—7243—47497—1014
7—11447—536199—21112
11—13253—596293—30714
13—17459—6127129—715122
17—19261—6767369—739324
19—23467—7147963—799330
23—29671—7328971—899928
29—31273—7969551—958736
31—37679—834
（3）个位为1、3、7、9的数中的合数的个数随数值的扩大而增加，如百以内个位为1、3、7、9的合数15个，101至200以内个位为1、3、7、9的合数增加加到19个，增加了4个。在自然数的个数一定的情况下，（如1—100,101—200中，都是100个自然数）个位为1、3、7、9的数个数是一定的，在这种数中增加一个合数必然减少一个素数。（如1—100比101—200增加了4个这种数的合数，则1—100比101—200必然减少4个这种数的素数。）这是素数随数值扩大而减少的根源。
二、万以上素数与合数的辨别方法。
辨别万以上素数、合数，首先要看个位，个位为2、4、5、6、8、0的数，除10以内的外，不论大小都是合数，是不素数。
个位为1、3、7、9的数，能被3、7、11、13、17、19整除的是合数，不能整除的可能是素数，但不一定是素数，还得用20以上的多位数去除，仍不能整除的才是素数。
以下举例说明辨别方法的运用。
例一，32546、3335268、4324600是否素数？
因上述三个数个位分别为6、8、0,都不是个位为1、3、7、9的数，故三个数都是合数，不是素数。
例二：求证467853、79627219是否素数？
467853个位为3,有可能是素数。
但467853÷3＝155951,故不是素数，是合数。
79627219个位为9,也可能是素数
因79627219÷7＝11375317
故79627219是合数，不是素数。
例三：求证34243是否素数？
34243个位为3,且用3、7不能整除
但34243÷11＝3113
故34243不是素数，是合数。
例四：求证13423是否素数？
13423个位为3,且用3、7、11、13、17、19去除都不能整除，但还不能确定一定是素数，还得用多位数的素数去除。
设13423是20以上的两位数的倍数，令两位素数作除数，若最高商位在百位，商是三位数，第一除式的被除数是131,除数在20—60左右，查百以内素数表，得20—60左右的素数是23、29、31、37、41、43、47、53、59、61.从小到大用以上素数去除，得13423÷31＝433。
故13423是合数，不是素数。
例五：求证83659是素数还是合数？
因83659个位为9,有可能是素数。
第一步 用3、7、11、13、17、19去除。
结果都不能整除。
第二步 查是否为两位素数的倍数。
先设最高商位在百位，商是三位数，第一除式的被 除数是836,两位数的除数应大于83.查百以内的素数表，用大于83的两位素数却除，都不能整除。
再设最高商位在千位，商是四位数，第一除式的被 除数是83,除数应在20—83之间，查百以内素数表，用相关素数去除，也都不能整除。
第三步 设是三位数的倍数，最高商位在百位，商是三位数，第一除式的被 除数是836,除数应在100以上到800左右，查千以内素数表，用相关素数去除，得83659÷311＝269.
故83659是合数，不是素数。
例六 求证92243是否素数？
（一）经检验，不是3、7、11、13、17、19的倍数。
（二）用两位素数去除。（限20以上的两位数）
先设最高商位在千位，商是四位数，第一除式的被除数是92,除数应少于92,查百以内素数表，符合条件的素数如下：23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89.
用以上素数去除，都不能整除。
再设最高商位在百位，商是三位数，第一除式的被除数是922,除数应大于92,大于92的两位素数只有97,用97去除，也不能整除。
（三）设商是三位数的倍数，用三位素数去除。
先设最高商位在百位，商是三位数，第一除式的被除数是922,除数应少于922.
查千以内素数表，用少于922的三位素数去除，结果还是不能整除。
还可以设最高商位在十位，商是两位数，但这种假设的结果总是一个两位数与三位数的乘积，这种格局与以两位数为除数商是三数的格局是一样的，只是商与除数互换了位置，故没有必要再试。
因为用两位素数去除，商可以是三位数，也可以是四位数，而且可以是素数，也可以是合数，不能整除，说明不存在两位数与三位数的乘积，也不存在两位数与四位数的乘积。用三位数去除，不能整除，说明不存在三位数与三位数的的乘积。
除以上情况外，再无其他可能存在的两数乘积，故92243是素数，不是合数。
三、讨论
（一）辨别万以上十万以内个位为1、3、7、9的合数，为什么只用素数去除，不用合数去除呢？
万以上十万以内的数都是五位数，五位数的合数有以下五种情况：
1、个位为2、4、6、8、5、0的数
2、个位为1、3、7、9的数中，能被以下各数整除的。
①能被3、7整除的；
②能被11、13、17、19整除的；
③能被20以上的两位数整除的；
④能被三位数整除的。
因为个位为1、3、7、9的数没有2、5的因素，除以3、7后则不存在2、3、4、5、6、7、8、9与任何数的乘积，即因数中没有一位数的素数，也没有一位数的合数。
如例六，92243用3、7去除，不能整除，说明92243中没有2、3、4、5、6、7、8、9等一位数的因数，即一位数的素数合数都没有。待查是否能被两位数整除。
先不用两位数去除，而是先考虑其因数中是否有两位数的合数。前面已经用3、7不能整除，说明其中不存在一位数的因数，而两位数的合数必然是一位数乘一位数或两位数乘一位数的乘积，既然不存在一位数的因数，就不存在构成两位合数的条件，即因数中不可能存在两位数的合数，所以接下来只要用两位素数去除即可。
用两位数的素数去除，还是不能整除，说明其因数中不仅没有两位数的合数，也没有两位数的素数，即其因数中没有两位数的数。
三位数的因式中也不会有合数，理由是三位数的合数是两两位数与两位数或两位数与一位数的乘积，经前几步检验已证明92243中既不存在一位数的因数，也不存在两位数的因素，没有构成三位合数的条件，所以还是只需用三位素数去除，不必用三位合数去除。
（二）识别多位数的合数与素数有何异同？
合数的识别是素数识别的基础，识别方法相同，关键是最后一步，如例六的问题是求证92243是否素数，结果证明是素数，如果最后一步能整除，结论就不是素数而是合数了。
求证素数与合数的区别在过程的长短，自然数列中有60%的数，根本不用计算，一眼就可认出是合数，这类合数就是个位为2、4、6、8、5、0的数。
个位为1、3、7、9的数，只要找到两个因数的乘积等于已知数，则已知数可以认定为合数，一、二步找到只要一、二步。识别素数则必须将可能存在的因数都检验完，证明不存在任何两数的乘积才能认定为素数。
（三）例一至例六的方法可以识别多位数中的所有素数与合数吗？
万以内素表的检验方法，实际是是例一至例六遂个识别合数与素数的方法，检验方法可以检验万以内素数表中所有素数是否有误，当然也可以制作万以内素数表。
例一至例六说明了五种情况中的数中合数与素数的识别，十万以内，百万以内的数都只有那五种情况，讨论（一）、（二）已说明例一至例六的辨别方法具有准确性和普遍 ，已说明用遂个识别的方法可以识别四位数、五位数中的所有素数、合数，即十万以内，百万以内各数是素还是合数用遂个识别的方法是可以全部识别的，常用素数的识别已不成问题。
百万以上千万以内的数是七位数，因式中多了四位数与四位数的乘积，难度更大一点，但用遂个识别的方法还是可以辨别的。
遂个识别的方法看起来很难，实际只有碰到例五、例六的情况难一点，这种情况在十万以内百万以内的比例很少，每一百个数中只有几个或十几个，真正的难点是自然数列是无限延伸的、自然数列中自然数个数也是无限增加的。遂个辨别自然数列中各数的素数、合数是无止境的，所以一竿子用遂个识别的方法认识自然数列中的所有素数、合数是不可能的，只有划定自然数段，把无限的自然数列变成有限的多个自然数列才可。遂个识别的方法能识别多位数的素数、合数，指的是有限的自然数列（或叫自然数段）中多位数的素数与合数，如万以上十万以内的自然数列，十万以上百万以内的自然数列等。所说识别多位数中的所有素数、合数都是指特定自然数段中的多位素数、合数。
尽管划定自然数段，如万以上十万以内设为特定的有限自然数列，可以用遂个识别的方法，识别其中的所有素数、合数，但难度还是不小，仍需要许多人共同努力，奋斗一段时间才有成效，才能证实自然数列中是否存在素数消失点。
（四）遂个识别的方法可以制作多位数的素数表吗？
作已知数列素数表，首先必须辨别已知数列的所有素数、合数。
作万以内素数表是先按不同组合，计算两数乘积后，确认了万以内所有素数、合数，再作素数表的。万以内素数表的制作方法可以用于万以上素数表的制作，但用这种方法识别十万以内、百万以内的所有素数、合数，工作量很大。用遂个识别的方法也可以作十万以内、百万以内的素数表，虽然难度还是不小，但这种方法可以解决急时之需，需要用到一个识别一个。可以分散难点，集众人之力。经过一段时间的众人努力，十万以内、百万以内的素数、合数都识别了，十万以内、百万以内的素数表就产生了。千万以内的素数、合数都识别了，千万以内的素数表也产生了。
（五）无限的自然数列中真的存在素数消失点吗？
这个问题，在没有证实之前，只能说可能性很大。先见表三。
表三，80001——80099素数、合数分离表约定：
1、个位为2、4、6、8、5、0的数不计，只记个位为1、3、7、9的数。个位为1、3、7、9的数用N表示。
2、分离个位为1、3、7、9各数中3、7、11的倍数用M表示，并标明是哪个数的倍数。
3、分离个位为1、3、7、9各数中3、7、11的倍数后剩下的数是总汇。总汇用W表示，总汇中包括素数和貌似素数的合数。
4、总汇中的合数用乘积式表示，记为A
5、总汇中的素数标明数字，用B表示。
表三　80001—80099素数合数分离表
NMWAB
800013的倍数
800037的倍数
800073的倍数
800098000919×4211
800118001129×2759
800133的倍数
800177的倍数
800193的倍数
800218002180021
800238002343×1861
800278002779×1013
8002980029191×419
800313的倍数
8003380033163×491
800373的倍数
800398003980039
800418004147×1703
800433的倍数
8004711的倍数
800493的倍数
800518005180051
800538005317×4709
8005780057359×223
800597的倍数
800613的倍数
800638006359×1357
800673的倍数
8006911的倍数
800718007180071
800733的倍数
800778007780077
800793的倍数
800818008173×1097
800838008353×1511
800877的倍数
8008980089283×283
800913的倍数
800938009313×6161
800973的倍数
8009980099173×463
80001—80099中只有五个素数，由80001—80100的一百个数中也只有5个素数，即素数占总数的5%。
万以内的素数表记载，8001—9000中素数107个，素数平均占总数10.7%，即平均每一百个数中有素数10.7个,801—900一百个数中有素数15个，占15%。
将上述三个百分率比较一下，15%比10.7%相差4.3%,10.7%比5%相差5.7%,即自然数列中相对应数段由千以内上升到万以内素数下降4.3%,由万以内上升到十万以内素数下降5.7%,即自然数列每上升一个台阶,对应数段中的素数下降5%左右。
若无限伸延的自然数列中，有素数的自然数段中的素数都找到了，不存在素数的自然数段找到了，即素数消失点找到了，素数问题就彻底解决了。
能不能找到素数消失点还说不准，因为素数百分率下降是波浪式的，下降到5%后，又有回升到百分之十左右的情况。
其实找不找到素数消失点已无多大关系，因为前面已说明千万以内的素数合数都可用遂个识别的方法识别，一般常用素数的识别已不成问题。
注：在数学中国网上公布的《由哥德巴赫狂想引起的猜想》一帖中，关于自然数列中可能存在素数消失点的论述，与本文所述不同之处，以本文所述为准。




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