已知 x1,x2,…,xn 是 n 个大于 1 的奇数，证明 (3+1/x1)(3+1/x2)…(3+1/xn) 不是整数

xuning20062

已知x1,x2,……，xn是n个大于1的奇数，证明（3+1/x1）(3+1/x2)……(3+1/xn)不是整数

Nicolas2050

已知x1,x2,……，xn是n个大于1的奇数，
证明（3+1/x1）(3+1/x2)……(3+1/xn)不是整数。

证明：
原式=(3x1+1)/x1*(3x2+1)/x2……(3xn+1)/xn=[(3x1+1)*(3x2+1)...(3xn+1)]/[x1*x2*...xn];
n个奇数之积（x1,x2,……，xn是n个大于1的奇数）：x1*x2*...xn=奇数且大于1；
3xn必为奇数，3xn+1必为偶数；
n个偶数之积：[(3x1+1)*(3x2+1)...(3xn+1)]=偶数；
所以原式=偶数/奇数（大于1），
放缩法：
[(3x1+1)*(3x2+1)...(3xn+1)]/[x1*x2*...xn]>[(3x1+0)*(3x2+0)...(3xn+0)]/[x1*x2*...xn]=3^n;
[(3x1+1)*(3x2+1)...(3xn+1)]/[x1*x2*...xn]<[(3x1+3)*(3x2+3)...(3xn+3)]/[x1*x2*...xn]=3^n+[(x1+1)*(x2+1)...(xn+1)]/[x1*x2*...xn]<=3^n+1;
令原式=S；
3^n+1（偶数）>S>3^n（奇数）;
即S在一个连续奇偶数之间，必不为整数；
所以必不能整除，即证不是整数。
Q.E.D#

xuning20062

方法1最后一步偶数/奇数（大于1）不能说明就不是整数，方法2中）3^n+[(x1+1)*(x2+1)...(xn+1)]/[x1*x2*...xn]中3^n后面是乘号不是加号

xuning20062

用数学归纳法证明不同奇数x1、x2、……，xn之积整除（3x1+1）(3x2+1）……（3xn+1）当且仅当x1=x2=……=xn=1

xuning20062

猜想：n个不同奇数x1，x2，……,xn的积不能整除（3x1+1）(3x2+1)……(3xn+1),当n=1,2,3,4等具体的数时，猜想均成立，怎样证明对任意自然数n猜想成立？