两个有趣的数列

fleurly

A = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ....
A是发散的。
把A分成两个数列A1，A2。
A1中的项，分母的那个整数中含有9这个数字。 A2的分母中不含。
A1=1/9 + /19 + 1/29 + ... + 1/89 + 1/90+ 1/91+...+ 1/99 + 1/109+...
A2=1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/8 + 1/10 + 1/11 + .. + 1/18 + 1/20 + ...
可以证明： A1发散， A2收敛

fleurly

9也可以换成1，2，3。。8

wangyangke

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=6922&show=0

fleurly

下面引用由wangyangke在 2009/08/03 08:42pm 发表的内容：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=6922&show=0

脑袋上有窟窿

gaocd

下面引用由fleurly在 2009/08/04 10:38am 发表的内容：
脑袋上有窟窿

难怪这个家畜把李明波当成爹，和李明波一样，脑袋上都有窟窿！
哈，哈哈，哈哈哈，哈哈哈哈，哈哈哈哈哈，哈哈哈哈哈哈，哈哈哈哈哈哈哈哈！

gaocd

希望看到陆教授的精彩证明。

gaocd

A1=1/9 + /19 + 1/29 + ... + 1/89 + 1/90+ 1/91+...+ 1/99 + 1/109+...
  >1/10 + 1/20 +1/30 +...1/90 + 1/100 + 1/110 +.....
  =1/10(1 + 1/2 + 1/3 +......)
而1 + 1/2 + 1/3 +......发散，所以A1发散。
如何证明A2收敛？

fleurly

比较形象的想：
A1在A中越来越密
A2越来越稀疏

luyuanhong

这两个级数的发散、收敛证明如下：

hxl268

李佰民译《托马斯大学微积分》456页：∑an=∑1和∑bn=∑-1同时发散，然而∑（an+bn）=∑0=0。（机械工业出版社，2009.3）注！必须证明∑an的项与∑bn的项能一一配对才能得此论断。显然∑（1-1）是由发散的∑1的各项都-1而来的——这样才能保证新级数的各项能一一配对。可见发散级数的各项都可+其相反数而得…。
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