H—构形中所含“九点形”的6、7、8三个顶点间一定是单边的证明

雷明85639720

H—构形中所含“九点形”的6、7、8三个顶点间一定是单边的证明
雷  明
（二○二○年三月二十八日）
（我在这里发不上图，请到＜中国博士网＞中去看）

我们在画含有双环交叉链的H—构形时，总是与“九点形”是分不形的。“九点形”中除了顶点6、7、8所构成的三条边，以及围栏顶点相互构成的边是单边外，其他顶点构成的边，都可以看成是由该边两个端点的颜色所构成的链。“九点形”本身就是一个极大图的平面图，其三种形式中只有一种如图1，b是H—构形，用坎泊的交换方法是空不出颜色给待着色顶点V的；而其他的如图1，a和图1，c两种，却都是K—构形，都可以用坎泊的交换方法空出颜色B来给待着色顶点V。

图1的“九点形”都是极大图，当然顶点6、7、8构成的三条边也一定都是单边。如果在6—7边上增加一个顶点，虽然增加的顶点还有颜色可着，但图却成了可以连续的移去两个同色B的K—构形，而不是H—构形了；若在6—8边或7—8边上增加一个顶点时，虽然增加的顶点也还有颜色可着，但却破坏了双环交叉链的特征，图就变成了K—构形而不是H—构形了。
既然“九点形”中除了顶点6、7、8所构成的三条边和围栏顶点相互构成的边是单边外，其他边都可以看成是由该边两个端点的颜色所构成的链，现在我们就把其他边变成链，使图1中的三个图都成为H—构形（如图2、图3和图4）。

这几个图的基本结构都是相同的，任取一个A—B链和C—D链都不是环形链的图4进行研究：
若在图4中的６—7边上增加一个顶点（如图5），该顶点虽有颜色可着，但图却成了一个可以连续的移去两个同色B的K—构形。因为从1B交换了B—D链后，不能新生成从3B到5C的连通的B—C链（如图5中的加粗边）。
    若在图4中的6—8边上增加一个顶点，当图是非极大图时，该顶点虽有颜色可着（如图6），但却破坏了双环交叉链的特征；当图是极大图时，该顶点却没有颜色可着（如图7），若要着上四种颜色之一，则一定要改变图中原有顶点的颜色，这又相当于破坏了原H—构形的特征。

到此，就证明了在H—构形中，“九点形”的6、7、8三个顶点间一定是以单边出现的，而其他的顶点间，均可以是两个端点的颜色构成的色链。这样，无环形链的构形一定可以转化成有环形链的构形就有了更牢固的理论基础。对图4从3B交换了B—C后，就生成了CDC型的有经过两个围栏顶点的A—B环形链的H—构形（如图8）。如果图4中的顶点6和8间还有别的顶点，是绝对不能生成A—B环形链的。同样的，若在图4中的顶点7和8间增加顶点，也会有同样的结论。

雷  明
二○二○年三月二十八日于长安

注：此文已于二○二○年三月二十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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