全新思路解决四色问题

雷明85639720

全新思路解决四色问题
雷  明
（二○二○年三月二十九日）
（在这里我发不上图，请到＜中国博士网＞中去看）

1、理论准备：
地图是3—正则的平面图，给其面上的染色就相当于对其对偶图的顶点着色。因为地图的对偶图是极大平面图，经去顶和减边由极大图得到的任意平面图的色数只会减少而不会增加。所以只要极大平面图的四色问题得到解决，地图的四色问题以及平面图的四色问题也就都得到了解决。这就把一个地理学中的问题转化成了一个数学问题了。
对极大平面图着色，总是会遇到最后一个要着色的顶点，由于极大图中各顶点均是处在一个轮的中心位置，所以与该顶点相邻的顶点都已是着过了颜色的，并且除了该顶点以外的其他任何顶点的着色都是符合着色要求的，即相邻顶点不用同一种颜色。把这样的只有一个顶点未着色的图，就叫做“构形”。因为未着色顶点是处在一个轮的中心位置，所以也叫“轮构形”。未着色的顶点叫待着色顶点，与待着色顶点直接相邻的顶点叫围栏顶点。
虽然极大图中各顶点的度都是任意的，但图论中可以证明任何平面图中至少存在着一个顶点的度是小于等于5的。这就为解决四色问题创造了有利条件。只要解决了待着色顶点的度是小于等于5的2度顶点，3度顶点，4度顶点和5度顶点4种不可避免的构形的可约性问题，四色问题就可得到解决。这就把一个看似无穷的问题转化成一个有穷的问题了。
围栏顶点占用颜色数小于等于3的构形，其待着色顶点至少还有一种颜色可着；围栏顶点占用颜色数等于4的构形，1879年坎泊已证明了4—轮构形都是可约的，但他在证明5—轮构形时，却遗漏了一种含有“双环交叉链”的构形，而在11年后的1890年被赫渥特构造了出来。所以现在证明四色猜测的关键，主要就是解决含有双环交叉链的H—构形的可约性的问题。
具有双环交叉链的构形的基本模式只有图1中的三种均是极大图的“九点形”。各图中都含有连通的双环交叉链A—C和A—D，两链均不可能交换而空出A、C、D三色之一；但除了图1，b是也不能空出两个同色B的H—构形外，其他两图均是可以连续的移去两个同色B的K—构形。可见具有双环交叉链只是构成H—构形的必要条件而不是充分条件。任一H—构形中都含有一种“九点形”作为其分子图。

我们在画含有双环交叉链的H—构形时，总是与“九点形”是分不形的。“九点形”中除了顶点6、7、8所构成的三条边，以及围栏顶点相互构成的边是单边外，其他顶点构成的边，都可以既看成是单边，也可以看成是由该边两个端点的颜色所构成的链。
图1的“九点形”都是极大图，当然顶点6、7、8构成的三条边也一定都是单边。如果在6—8边或7—8边上增加一个顶点时，虽然增加的顶点也还有颜色可着，但却破坏了双环交叉链的特征，图就变成了K—构形而不可能成为H—构形了。如果在图1，b的6—7边上增加一个顶点，虽然增加的顶点还有颜色可着，但图却成了可以连续的移去两个同色B的K—构形，而不再是H—构形了。所以说“九点形”中由顶点6、7、8构成的3条边一定都是单边，而其他边都可以既看成是单边，也可以看成是由该边两个端点的颜色所构成的链。
2、四色猜测的证明：
现在我们就把“九点形”中其他的边变成链，使图1中的三个图都成为H—构形（如图2、图3和图4）。

这几个图的基本结构都是相同的，任取一个A—B链和C—D链都不是环形链的图4进行研究：
若在图4中的６—7边上增加一个顶点（如图5），该顶点虽有颜色可着，但图却成了一个可以连续的移去两个同色B的K—构形。因为从1B交换了B—D链后，不能新生成从3B到5C的连通的B—C链（如图5中的加粗边）。同样的，从3B交换了B—C链后，也不能新生成从1B到4D的连通的B—D链。

若在图4中的6—8边上增加一个顶点，当图是非极大图时，该顶点虽有颜色可着（如图6），但却破坏了双环交叉链的特征；当图是极大图时，该顶点就没有颜色可以着上了（如图7），若要着上四种颜色之一，则一定要改变图中原有顶点的颜色，这又相当于破坏了原H—构形的特征。

这也就再一次证明了由顶点6、7、8构成的3条边一定都是单边，而其他边都可以既看成是单边，也可以看成是由该边两个端点的颜色所构成的链的结论是正确的。
我们发现，图2和图4中至少都有一条从一个同色围栏顶点B到双环交叉链的交叉顶点8A的A—B链，二者在进行了一次转型交换后，均可转化成如图3的含有只经过了两个围栏顶点的环形链的构形（如图8和图9）。

对于埃雷拉图，从一个同色围栏顶点B交换了与其对角顶点的颜色构成的色链后，同样也会转化成有经过两个围栏顶点的环形链的构形（如图10）。
如果说图10，a中的E—图中没有从围栏顶点B到双环交叉链的交叉顶点8A的A—B链，那么把E—图中的交叉顶点8A换到图的对称中心顶点B上，不就有了从围栏顶点B到双环交叉链的交叉顶点的A—B链了吗（如图11，图中的三个加大顶点A都是双环交叉链A—C和A—D的交叉顶点）？图11，a这也是一个E—图呀！它不就是图10，a的E—图转型了两次的图吗？

现在所有的H—构形都可以转化成有经过两个围栏顶点的环形链的构形了，而赫渥特图也正好就是含有经过了两个围栏顶点的环形链的图。所以任何H—构形就都可以用同一种方法进行解决了（解决时交换的是经过围栏顶点的、与环形链呈相反链色链的链，交换后就可得到可约的K—构形）。任何H—构形都是可约的了，四色猜测也就证明是正确的了。
新思路的好处主要是简单，与埃雷拉图也没有什么关系，也不要证明最大的交换次数是多少的问题。

雷  明
二○二○年三月二十九日于长安

注：此文已于二○二○年三月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：