想与张彧典先生共同探讨几个问题

雷明85639720

想与张彧典先生共同探讨几个问题
雷  明
（二○二○年三月三十日）

昨天我写了《全新思路解决四色问题》一文，看来这个所谓的“全新”思路还是有一定的问题，它并不具备一般性。虽然E—图构形进行一次转型交换后，得到了一个只经过两个围栏顶点的环形链A—B的图，但E—图中从围栏顶点中的任一个B到双环交叉链的交叉顶点却并无A—B链。为了解释这一现象，我举出了对E—图进行两次转型后的图中，从围栏顶点中的任一个B到双环交叉链的交叉顶点却是有A—B链的理由，这是错误的理由。其实，这两个图并不是同一个图，而是不同的两个E—图类的图。随后，我对先生的从E—图中改变某些四边形对角线所得的图中的没有环形链的图进行了检验，在这些图中，的确也有从围栏顶点中的任一个B到双环交叉链的交叉顶点并无A—B链的情况，在进行了一次转型交换后的图中，也有不存在含有经过两个围栏顶点的环形的A—B链的情况。所以说我的这个所谓的“全新”思路还是有一定的局限性的，不能适用于一般的构形。
由此，我想到了你、我两人一直都不能解决的最大转型交换次数的问题。我认为这个问题不能解决，用对不可免构形的可约（着色）法，可能是不能解决四色猜测的证明问题的。但实践却的确已证明了任何地图着色时，4种颜色就是够用了的，那么，理论上就一定应是能够进行证明的。如果改变一个新的思路，说不定就能够走到“柳暗花明又一村”的境界。
1、我先来分折不可免构形法的实质：
不可免构形法的实质就是说这些不可免构形在任意的构形中是不可避免的，它在任意的构形中只是一个不可避免的分子图（或叫分子构形）。当某一个不可免构形是可约的时，则含有该不可免构形作其分子构形的构形也就一定是可约的了。这实质上还是对任意的图在进行着色，属于对任意图进行着色的实践活动范畴，并不是理论上的证明。
现在，对于什么是构形，并没有统一的认识。一般都认为构形就是只有一个顶点未着色的极大图，也就是说一个构形只有一个待着色的顶点；但阿贝尔却硬要把有两个待着色顶点的（5，5）图和（5，6）图也认为是不可免的构形。这就产生了对不可免构形的分类也就各不相同的情况。坎泊把构形分为四类不可免的轮构形，阿贝尔则认为不可免构形有近2000种，最少也是633种。坎泊的证明中却把属于5—轮构形中的一种含有双环交叉链的H—构形漏掉了，证明不彻底；阿贝尔的证明中却说（5，5）构形和（5，6）构形是不可约的，出现了一些相互矛盾的现象，并且也没有明确给出结论说四色猜测是正确还是不正确。
你、我两人一直坚持坎泊的分类方法，重点在对其所漏掉了的H—构形进行研究。在H—构形的三种结构中，含有经过围栏顶点的环形链的构形可以通过断链交换法（你叫Z—换色程序）进行解决；而不含经过围栏顶点的环形链的构形是通过转型交换法（你叫H—换色程序或H—颠倒法）解决的，但转型的次数最大是多少，又无法确定。特别是E—图虽是可以通过断链交换法进行解决的，但对其进行转型交换时，又是无穷次交换也不能解决问题的。这就不得不使人要问，E—图以外还有没有无穷次转型交换也不能解决问题的图（构形）呢？
虽然你、我两个人对具体的图进行着色时，都是在有限次数的转型交换内解决了问题，但却不能从理论上证明无环形链的H—构形的转型交换次数一定是有限的，并且也给不出一个有限次的上限值。有限如果没有上限值的限制，不是仍然等于还是无限的吗？这就不得不提出用不可免构形的方法能否证明四色猜测的问题了。也不得不重新提出更新的证明思路的问题了。
2、我再提出更新的证明思路：
这种更新的思路，我以前在多次的《最简证明》中都提出过，只是连我自已也没有引起重视。
四色问题是因给地图的染色而提出，还得从地图着手进行解决。地图本身就是3—正则的平面图，它并不是一般的平面图，而是一种特别的平面图：3—正则即是每一个顶点都连有3条边的特殊平面图。它的对偶图是一个极大平面图，也不是任意的平面图：极大平面图表现在其每一个面都是3边形的特殊平面图。给地图的面上的染色，就等于对其对偶图的顶点着色。所以说证明四色猜测还得要从地图的对偶图——极大图入手，说得更确切一点，即是从任意极大图的生成开始。
面数最少的地图是海地岛的地图，有海地和多米尼加两个国家和“海洋国”，共有三个面。其对偶图就是只有三个顶点的极大图，这也是最小的极大图。最小的极大平面图就是K3图。用“增加顶点和边”的办法从K3图可生成任意顶点数的，且各顶点的度是任意大的极大平面图。这些极大平面图一定都是可4—着色的。证明如下：
极大平面图的生成过程是从顶点数是3的极大平面图K3开始的，K3图只用三种颜色。若在K3图的一个面内增加一个顶点和三条边，可得到一个K4图的极大平面图，该增加的顶点只能用第四种颜色（但不能在K3图的边上增加顶点，因为这样增加了顶点后，是不能生成极大图的）；从K4图开始，以后再在新生成的极大平面图的任何一个面内增加一个顶点和三条边，所得到的图仍是极大平面图，则该顶点只能用与该面三个顶点不同的第四种颜色；若增加的顶点不在面内，而是在一条边上，则仍要使图保持是极大平面图时，还得要再增加两条新边，共计也是增加了三条边（因为增加的顶点是在边上，已把该边分成了两条）。增加的这个顶点一定是位于一个4—轮的中心顶点上的。根据坎泊的证明，这样的4—轮“构形”一定是可约的，即增加的这个顶点（4—轮的中心顶点）一定是可以着上图中已用过的四种颜色之一的。就这样一直不停的增加下去，就可得到顶点数是任意多的、各顶点的度是任意大的极大平面图，其所用的颜色数总是不会超过4的。这就证明了任何极大的平面图都一定是可4—着色的。
极大平面图的四色猜测是正确的，那么对极大图经去顶或减边得到的任意平面图的色数就只会减少，而不会再增加。所以地图的四色猜测和任意平面图的四色猜测也就是正确的了。证毕。

雷  明
二○二○年三月三十日于长安

注：此文已于二○二○三月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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