全新思路解决四色问题（修改稿）

雷明85639720

全新思路解决四色问题（修改稿）
雷  明
（二○二○年三月二十九日）

地图是3—正则的平面图，给其面上的染色就相当于对其对偶图的顶点着色。因为地图的对偶图是极大平面图，经去顶和减边由极大图得到的任意平面图的色数只会减少而不会增加。所以只要极大平面图的四色问题得到解决，地图的四色问题以及平面图的四色问题也就都得到了解决。这就把一个地理学中的问题转化成了一个数学问题了。
既然四色问题是因给地图的染色而提出，就必须得从对地图的认识着手进行解决。地图本身就是3—正则的平面图，它并不是一般的平面图，而是一种特别的平面图：3—正则即是每一个顶点都连有3条边的特殊平面图。地图的对偶图是一个极大平面图，也不是任意的平面图：极大平面图表现在其每一个面都是3边形的特殊平面图。由于对偶图的顶点就是原图的面，所以对地图对偶图的顶点着色，就等于给地图的面的染色。所以说证明四色猜测还得要从地图的对偶图——极大图入手，说得更确切一点，即是从任意极大图的生成开始。
面数最少的地图是海地岛的地图，其上有海地和多米尼加两个国家和“海洋国”，共有三个面。其对偶图就是只有三个顶点的极大平面图，这也是最小的极大图。最小的极大平面图就是K3图。用“增加顶点和边”的办法从K3图可生成任意顶点数的，且各顶点的度是任意大的极大平面图。这些极大平面图一定都是可4—着色的。证明如下：
任意极大平面图的生成过程，是从顶点数是3的最小极大平面图K3开始的，K3图只用三种颜色。
若在K3图的一个面内增加一个顶点和三条边，可得到一个K4图的极大平面图，该增加的顶点只能用第四种颜色。但是不能在K3图的边上增加顶点，因为这样增加了顶点后，是不能生成极大图的。
从K4图开始，以后再在新生成的极大平面图的任何一个面内增加一个顶点和三条边，所得到的图仍是极大平面图，则该顶点就只能用与该面三个顶点不同的第四种颜色；
从K4图开始，若增加的顶点不在面内，而是在一条边上，则仍要使图保持图仍是极大平面图时，还得要再增加两条新边，共计也是增加了三条边。因为增加的顶点是在边上，就已经把该边分成了两条。增加的这个顶点一定是位于一个4—轮的中心顶点上的。
根据坎泊的证明，这样的4—轮“构形”一定是可约的，即增加的这个顶点（4—轮的中心顶点）一定是可以着上图中已用过的四种颜色之一的。就这样一直不停的增加下去，就可得到顶点数是任意多的、且各顶点的度也是任意大的极大平面图，其所用的颜色数总是不会超过4的。
这就证明了任何极大的平面图都一定是可4—着色的。
极大平面图的四色猜测是正确的，那么对极大图经去顶或减边得到的任意平面图的色数就只会减少，而不会再增加。所以地图的四色猜测和任意平面图的四色猜测也就是正确的了。证毕。


雷  明
二○二○年三月三十日于长安

注：此文已于二○二○年三月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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