极大图生成法证明四色猜测 ——最简单的证明方法（修改稿）

雷明85639720

极大图生成法证明四色猜测
——最简单的证明方法
雷  明
（二○二○年三月三十一日）
（图我发不上来，请到＜中国博士网＞中去看）

地图是一个3—正则的平面图，给其面（区域）上的染色就相当于对其对偶图的顶点着色。因为地图的对偶图是极大平面图，经去顶和减边由极大图得到的任意平面图的色数只会减少而不会再增加。所以只要极大平面图的四色问题得到解决，地图的四色问题以及平面图的四色问题也就都得到了解决。这就把一个地理学中的问题转化成了一个数学问题了。
既然四色问题是因给地图的染色而提出，就必须得从对地图的认识着手进行解决。地图本身就是3—正则的平面图，它并不是一般的平面图，而是一种特殊的平面图：3—正则即是每一个顶点都连有3条边的特殊平面图。地图的对偶图是一个极大平面图，也不是任意的平面图：极大平面图表现在其每一个面都是由3条边围成的三边形的特殊平面图。由于对偶图的顶点就是原图的面，所以对地图对偶图的顶点着色，就等于给地图的面的染色。所以说证明四色猜测还得要从地图的对偶图——极大图入手，说得更确切一点，即是从任意极大图的生成开始。
面数最少的地图是海地岛的地图，其上有海地和多米尼加两个国家和“海洋国”，共有三个面。其对偶图就是只有三个顶点的极大平面图，这也是最小的极大图。最小的极大平面图就是K3图。用“增加顶点和边”的办法从K3图可生成任意顶点数的，且各顶点的度是任意大的极大平面图。这些极大平面图一定都是可4—着色的。证明如下：
任意极大平面图的生成过程，是从顶点数是3的最小极大平面图K3开始的，K3图只有3个顶点，三种颜色就够用了。

若在K3图的一个面内增加一个顶点，得到的是一个K4图（如图1），也是一个3—度顶点的3—轮构形，仍是极大图，增加的顶点还有第四种颜色可着；若在K3图的一条边上增加一个顶点，再增加边，以保持图仍是一个极大平面图，得到的是一个2—度顶点的2—轮构形（如图2），也仍是极大图，增加的顶点至少还有两种颜色可着。图3也是在K3图的一条边上增加了一个顶点，其度是4，看上去似乎不是极大图，但稍加拓扑变形以后，就能看出图3与图2实际上是同一回事（如图4和图５。图3，图4和图5三个图实际上是同一个图）,只是其只剩下一种颜色可着了。
以后再在图1（K4图，3—轮）和图2（2—轮）的基础上，在其面内或边上增加顶点，仍要保持图是极大平面图时，所增加的顶点的度都不会大于4。
1、若是在一个面内增加顶点时，该顶点的度一定是3（如图6），共增边了三条边，该顶点至少还有一种与该面的三个顶点不同的第四种颜色可着；
2、若增加的顶点不在面内，而是在一条边上，要使图保持仍是极大平面图时，还得要再增加两条新边，共计也是增加了三条边。因为增加的顶点是在一条边上，就已经把该边分成了两条。增加的这个顶点一定是位于一个4—轮构形的中心顶点上（如图7和图8），该顶点的度都是4。坎泊早在1879年就已证明了任何4—度顶点的构形都是可4—着色的，这里不再重复；

3、若增加的顶点在一个2—度顶点的一条边上，得到的也是一个2—度顶点的2—轮构形（如图9），也仍是极大图，增加的顶点至少也还有两种颜色可着。图10也是在2—度顶点的一条边上增加了一个顶点，与图3有些类似，看上去似乎不是极大图，实际上仍是极大图，增加的顶点的度也是４，也还有一种颜色可着了（如图11）。可以看出图10与图9实际上也是同一回事。

就这样一直不停的把图的顶点增加下去，就可得到顶点数是任意多的、且各顶点的度也是任意大的任意极大平面图，其所用的颜色数总是不会超过4的。
这就证明了任何极大的平面图都一定是可4—着色的。
极大平面图的四色猜测是正确的，那么对极大图经去顶或减边得到的任意平面图的色数就只会减少，而不会再增加。所以地图的四色猜测和任意平面图的四色猜测也就是正确的了。证毕。


雷  明
二○二○年三月三十一日于长安

注：此文已于二○二○年三月三十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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