[求助]数学解题中的推理疑惑，大家一定帮帮我啊！

ryokohirosue

很长时间以来，做题感觉都机械化了~每次拿到题目都很麻木地按部就班提取已知条件，分析已知与目标之间的关系然后根据各种法则进行推导列方程式求解。有一天，突然开始思考，这样一步步到最后求出来的解到底是不是完全满足条件的（也就是说问题本身满足条件肯定有个标准的绝对的解集，然后我们经过推理也会得出一个解集，这两个解集是完全重合的吗？会不会在推理过程中使得解集扩大化了？） 举个不太合适的例子： A+2>5，求A的范围。 解：A+2>5 <-> A>3（这个就是A的范围了） 如果进一步推还可以得到 -> A>1 最后这步推理虽然合理但得到的却不是题目的解 虽然A+2>5 -> A>1合理，但满足A>1并不一定满足A+2>5，即这样的推理是不可逆的 再分析一下为什么A>3 是正确的解呢？因为A+2>5 <-> A>3的推导过程是可逆的，即由条件得到结果的同时由结果反向能得到条件真。这样可以保证得到的结果一定是满足条件的，不会扩大解集 于是我的想法是，以求某个解为目标的数学题，为了保证解集不发生变化必须保证每一步推导都是可逆的，即由前提得到相应结果的同时还得保证在这样的结果下能导出前提是真的，这才是真正意义上的满足条件的结果。 然后再分析一下证明题，因为证明题通常要证明的结论是某个命题的真假，命题的话要么真要么假。假设现在在题设条件A下经过合理的推理得出B真，我们反证，如果B为假，则必有A为假，与题设矛盾，所以B必真。如此看来~对于证明题，在求证过程中并不一定要求由B真能反推出A也真！ 所以我的想法是对于证明题则不一定需要保证推理过程的可逆！ 请高手指点一下我的想法对不对~然后请告诉我什么情况下要求推理是可逆的，什么情况下不要求推理是可逆的？ 然后，还有一个比较困惑的问题，我之前一直猜疑采用不能的方法解同一道题会不会得到不同的结果，后来随便小推理了一下不知道合不合理 假设现有条件A1,A2,A3,A4(条件都为真)，要求目标B 我选用A1,A2,A3三个条件，然后选用某个定理推导出结果为B1 然后再选用A2,A3,A4运用另外一个定理得到一个结果B2 B1和B2一定相等吗? 假设B1,B2不等，则其中必定有一个是错的，我们不如假定B1假，则必有（A1 ^A2^A3）假，即A1,A2,A3中至少有一个假，与题设矛盾，所以B1和B2一定相等 即只要题设条件之间不相互矛盾，那么采用不同的方法求的的结果一定是唯一的！ 这样的推理合理吗？ 大家一定要帮帮我啊~最近想这个头都大了~最近只要是做题就会不自觉地想到这些~谢谢哈！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/08 11:43pm 第 3 次编辑] 在解方程或解不等式的过程中，有时需要作恒等变换：将一个式子 A 恒等变换成式子 B 。 这种恒等变换，必须是可逆的，即能从 A 推导出 B ，反过来，也要能从 B 推导出 A 。 但是，一般的推理，并不一定要求是恒等变换，所以，不需要满足可逆的要求。 例如在证明题中，要求从已知条件 A 出发，推导出结论 B 。 我们只要证明“ A 为真时，B 也为真”就可以了，并不需要反过来证明“ B 为真时，A 也为真”。 例如，设已知条件 A 是 │x-1│<1 ，要求证明结论 B ：x>0 。 我们从│x-1│<1 成立，可以推得 1-10 成立。 但是，反过来，仅仅从结论 B ：x>0 成立，显然并不能推断说条件 A ：│x-1│<1 必定成立。 -------------------------------------------------------------------------------------------- 如果已知 A1,A2,A3,A4 都为真，我们从 A1,A2,A3 推出结论 B1 ，从 A2,A3,A4 推出结论 B2 。 在这种情况下，结论 B1 与结论 B2 并不一定完全恒等。 例如：A1 是 x<3 ，A2 是 x<4 ，A3 是 x>1 ，A4 是 x>2 。 从 A1,A2,A3 可以推出结论 B1 ：1

ryokohirosue

谢谢你的解答~呵呵 关于第一个话题 可以请举个实例说明只需正向推理成功而不需要可逆的情况吗？ 我看了好些题（非证明题），感觉好像每一步都是可逆的，只是很多时候只使用了推理的部分结果 比如A<=>B和C,这个推理是可逆的 这个也可以分解成2个A=>B和A=>C，如果单纯看这2个是不可逆的 出于解题的需要我们可能只运用A=>B这部分就OK了~这样的话B只是A的必要条件，由B成立不能回溯到A成立，可是如果我们把因解题不需要而省略的那部分A=>C添加进来再看的话~推理是可逆的。 所以我的想法是求解题的每一步推理理论上都是可逆的，只是某些时候在过程中我们省略了部分推理结果导致反过来推理的前提不够充分了，如果将省略的那部分添加进来是可逆的充分的。 关于第二个话题 我想我的表述不是很清楚引起误解了 我想论证的是“同一道题，可以通过不同的方法求解，得到的答案一定是一样的！” 2楼举的例子可以表述为： 已知A1 是 x>1 ，A2 是 x>2 ，A3 是 x<3 ，A4 是 x<4，求x 对于这道题，必须将A1A2A3A4四个条件都用上才能得到正解如果只用到部分得到的并不是题目的解 我原题假设的情况是只需要运用A1A2A3或者A2A3A4便能很充分地得到题目的解 比如，已知三角形ABC，AD⊥BC,AC=5,CD=3,AB=8,BD=4√3,求AD 对于这题我们可以筛选条件AD⊥BC,AC=5,CD=3运用勾股定理得到AD=4 也可以筛选条件AD⊥BC, AB=8,BD=4√3同样得到AD=4 我之前的论证正是为了说明只要条件AD⊥BC,AC=5,CD=3,AB=8,BD=4√3之间不矛盾，得到的结果一定是相同的！ 呵呵~继续分享一下观点哈！~来哈

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/09 00:27am 第 1 次编辑]

下面引用由ryokohirosue在 2009/09/08 11:09am 发表的内容：
可以请举个实例说明只需正向推理成功而不需要可逆的情况吗？

下面是一个例子：
题  设已知 x^2+y^2＝1 ，求 x 的取值范围和 y 的取值范围。
解  从 x^2+y^2＝1 ，x^2＝1-y^2≤1 可知，x 的取值范围为 -1≤x≤1 ，
    从 x^2+y^2＝1 ，y^2＝1-x^2≤1 可知，y 的取值范围为 -1≤y≤1 。
在这个题中，已知条件为 A：x^2+y^2＝1 ，推出结论为 B：-1≤x≤1 和 -1≤y≤1 。
从 A 成立，可以推出 B 一定成立。但反过来，从 B 成立，却不能推出 A 一定成立。
在这个例子中，你想要补充一个 C ，使得 B 和 C 合起来可以推出 A ，看来也很困难（除非 C 就是 A 本身）。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/09 01:18am 第 2 次编辑]

下面引用由ryokohirosue在 2009/09/08 11:09am 发表的内容：
对于这题我们可以筛选条件AD⊥BC,AC=5,CD=3运用勾股定理得到AD=4
也可以筛选条件AD⊥BC, AB=8,BD=4√3同样得到AD=4
我之前的论证正是为了说明
只要条件AD⊥BC,AC=5,CD=3,AB=8,BD=4√3之间不矛盾，得到的结果一定是相同的！

在你举的这个例子中，题目所给的条件，其实有些是多余的，所以可以选择其中一部分条件，仍能得到同样的结果。
但是，我们平时遇到的题目，一般都不是这样的。题目中的条件，往往一个也不能少，少了一个，结果就不一样了。
下面是一个例子：
题  已知 A1：x+y-z＝0 ，A2：x-y+z＝2 ，A3：-x+y+z＝4 ，求 x,y,z 。
解  如果我们选择其中的 A1：x+y-z＝0 和 A2：x-y+z＝2 ，只能求得 B1：x＝1 和 y-z＝-1 ，y,z 不确定。
    如果我们选择其中的 A1：x+y-z＝0 和 A3：-x+y+z＝4 ，只能求得 B2：y＝2 和 x-z＝-2 ，x,z 不确定。
    如果我们选择其中的 A2：x-y+z＝2 和 A3：-x+y+z＝4 ，只能求得 B3：z＝3 和 x-y＝-1 ，x,y 不确定。
    由此可见，如果只选择其中一部分条件，得到的结论，显然是各不相同的。只有选择全部条件，才能得到唯一解。

ryokohirosue

是的~而且我也发现解方程组的过程就不可逆 基本现在可以确定在求解过程中并不一定要求每一步都可逆，有些步骤也根本不可逆 那么很自然滴我想弄清楚 解题中哪些过程是要求可逆的？ 怎样保证解的正确性？ （我觉得有必要交代一下我提出这个变态问题的原因 我们解一元方程解不等式需要可逆是为了保证求解过程中解集不发生变化，我们研究一下解方程和解不等式，他们有很多相似的地方，都提供一个已知条件，然后都要求一个满足条件的未知量，并且在求解过程中可逆从而保证推理来的解就是完完全全的解，和标准解比较起来，不扩大不缩小。于是我们把这个问题扩大来看，所有的数学求解题类比解一元方程解不等式，都包含已知条件和待求的未知数，但是因为其他求解题不能像解一元方程解不等式做到可逆，这样我怎么保证所求结果的正确性呢？也就是怎么保证所求结果都满足条件） LS举的题目设已知 x^2+y^2＝1 ，求 x 的取值范围和 y 的取值范围 首先，求解过程是合理的正确的，即： x^2+y^2＝1 => -1≤x≤1 和 -1≤y≤1 正确，通过这样的推理我们只能知道不在区间[-1，1]内的x，y一定是不满足条件的，但如何确定满足在区间[-1，1]内的x，y都是满足条件的？这种题和解一元方程就完全不同了，解一元方程由于可逆，可以很直观地肯定求得的结果就是满足条件的） 粗略看了一下波利亚的《怎样解题》 里面有提到综合法和分析法 首先阐述了综合与分析的联系：次序一正一反 这里我着重说一下分析法 “如果我们有一个‘求解题’，我们需要找出某个未知数x，它满足清晰 表达的条件。我们至今尚不知是否有什么东西可能满足此条件；但我们假定有 一个x满足所提条件，我们从它导出另一个未知数y，y必须满足有关的条件；然 后我们再把 y与另一个未知数相联系，如此等等，直到我们遇到最后一个未知 数z；我们可以用某个已知方法求得它为止。如果这里确实存在一个z，满足加 于它的条件，则这里也存在一个z满足原来的条件(假定我们所有的推导均可 逆)。我们首先求出 z；接着，知道z以后，我们求出在分析中处于z之前的未知 数：按同一方式，我们按各个步骤反向前进，最后，知道y，我们求得x，于是 达到我们的目的。但是，如果没有什么东西可满足加z的条件，则关于x的问题 无解。” “如果我们有个‘求证题’，我们需要去证明或推翻一个清晰陈述的定理 A。我们至今还不知道A成立还是不成立；但我们从A导出另一定理B，从B导出另 一C，等等，直到我们遇到最后一个定理L，关于它我们有确切的了解为止。假 定我们所有的推导可逆，则若，L为真，A也将为真。从L开始我们证明在分析过 程中位于L之前的定理K，然后，用同样方式前进，我们追溯各个步骤；从C证明 B，从B证明A，这样我们就达到了我们的目的，但如果L不成立，则我们也已证 明A不成立。” 可以将分析法简单理解为不断构建一个和所求问题等价的辅助问题 （这里我还想小回顾一下以前解题过程中的一些记忆，当我们看见题目要求的量后。有时也会站在未知量上反着思考：如果能知道Y，那么就能得到X了。换种表示方法也就是我们仅仅在思考：Y=>X而忽略了由X能否得到Y。而按照文中分析法的描述，严格的分析法还要求X=>Y,即X<=>Y。如此可见我们以前运用分析法的思维并不严密） 两断文字中都提到了 “假定我们所有的推导可逆” 我是否可以下结论：分析法需要推理可逆？