[求助]哪位高手帮忙看一下啊？关于测度的两个问题

fleurly

哪位高手帮忙看一下啊
不知道这个命题对不对？ 该怎么证明？
。 不可数点集的测度必不为0
这个命题怎么证明？
1。 可数点集的测度为0

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/08/07 01:11am 第 1 次编辑]

可以证明“可数点集的测度一定等于 0 ”，但是，不能说“不可数点集的测度一定不等于 0 ”：

fleurly

明白了
谢谢陆老师啊。

ygq的马甲

这个康托尔三分集，非常有意思的。
附图：事物变化的基本形状（变）

按陆教授的【证明】，那么可以理解成：从 0→1 的【质变】，完全由“不可数”来完成的，即“不可数”连续地遍历 0→1

wangyangke

[这个贴子最后由wangyangke在 2009/08/09 08:56am 第 1 次编辑]

请教-------------------------
    众所周知，在数轴上，点是无限稠密的，任意两点之间都有点或任意两数之间都有数存在；此一维可推知二维或推知三维；
    因此，鄙以为，问题
----------- 不能说“不可数点集的测度一定不等于 0        可数点集的测度为0-------------   
    可由点是无限稠密的直接引伸，而不需要如 luyuanhong 老师般的证明；
    谨请教诸位师长，鄙之以为，正确与否？

ygq的马甲

下面引用由wangyangke在 2009/08/09 08:07am 发表的内容：
请教-------------------------
    众所周知，在数轴上，点是无限稠密的，任意两点之间都有点或任意两数之间都有数存在；此一维可推知二维或推知三维；
    因此，鄙以为，楼主的问题
-----------   不可数点　...

还要考虑这些点的【构造、组成】方式
如陆教授所【证明】的，康托尔三分集这种【构造、组成】方式，其测度仍然是 0

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/08/10 07:35pm 第 1 次编辑]

考虑[0，1]上的均匀分布所确定的概率空间。那么Cantor的三分集对应一个概率为0的事件。Cantor的三分集不但不是空集，还是一个不可数集。这是一个说明0概率事件未必是不可能事件的很有教育意义的例子。

wanwna

可数点集的测度为0很容易证明,不断用小的区间去覆盖各个点即可,比如a,a/2,a/4....
当a趋向于0,整体长度和也趋向于0
不可数点集的测度必不为0是不对的,
打个比方,RXR上的一条直线