以下我想有可能是质数最开始的定义吧

wanwna · 发表于 2009-8-27 20:55

对于不为1（1在环里的地位很特殊，整数环里只有两个单位元，1,-1）正整数p，如果对于任何满足p|ab的正整数a,b,均有p|a或者p|b,那么我们称p为质数

wanwna · 发表于 2009-8-27 21:08

整数环是很特殊的交换整区，在这个代数结构里，不可约元和素元是等价的概念

wanwna · 发表于 2009-8-27 21:09

整数环的唯一分解性应该很早就发现了，于是用不可约元来定义质数也是有可能的

elimqiu · 发表于 2009-8-28 22:07

下面引用由wanwna在 2009/08/27 08:55pm 发表的内容：
对于不为1（1在环里的地位很特殊，整数环里只有两个单位元，1,-1）正整数p，如果对于任何满足p|ab的正整数a,b,均有p|a或者p|b,那么我们称p为质数

有些很新的代数数论的书就是这么定义素数的。

申一言 · 发表于 2009-8-28 23:10

恩!
   有点意思!
合数    W=(2n+1)(2m+1)
当仅当    W=PQ=PW1=QW2
则有    1.P,Q都是素数,
            2.P是素数
            3.Q是素数!
         啊!  数学的语言千变万化,容易使人理解的最好?!

fleurly · 发表于 2009-8-29 09:52

这个应该不是定义，而是先有素数的定义，而后推导出了“对于任何满足p|ab的正整数a,b,均有p|a或者p|b”这个定理、

wanwna · 发表于 2009-8-29 14:21

下面引用由fleurly在 2009/08/29 09:52am 发表的内容：
这个应该不是定义，而是先有素数的定义，而后推导出了“对于任何满足p|ab的正整数a,b,均有p|a或者p|b”这个定理、

是这样的，在环论（抽象代数分支）里，对于整区（交换且含恒等元的环）不可约元的意思是没有真因子的元，这个很像现在质数的定义。而素元的定义和这个帖子里我对质数的定义是一样的。
素元一定是不可约元，但不可约元不一定是素元。

elimqiu · 发表于 2009-8-30 01:13

下面引用由fleurly在 2009/08/29 09:52am 发表的内容： 这个应该不是定义，而是先有素数的定义，而后推导出了“对于任何满足p|ab的正整数a,b,均有p|a或者p|b”这个定理、

如果彼此等价，就应该允许什么是定义，什么是成为定理的选择。要紧的是一个概念引出的动机是什么。如果我们从算术的基本定理出发看问题就知道要保证大于1的整数n的分解的存在唯一性： n = p1^e1...pk^ek (ej >= 1, p1<...

wanwna · 发表于 2009-8-30 15:35

我来给一个例子,来说明两种定义的不同,在此之前我要给出几个定义(以下定义均在带恒等元的交换整环里):
单位:若对于环内一个元素a,存在环内一个元素b,使得ab=1,则称a为单位.
等价:若对于a,b,以及单位c,使得a=cb,则称a等价于b,记a~b
真因子:若对于a,b,c有a=bc,且b、c均不为单位，则称b是a的真因子（c当然也是）
不可约元:若a不存在真因子,则称a为不可约元
素元:若对于元p，且对于任意使得的p|ab成立的a,b，都存在p|a或者p|b，则称p为素元
定义结束，现在我来构造一个整区(恒等元的交换整环)，然后再在里面找一个不为素元的不可约元。
考虑Z(sqrt6)
4=2*3=sqrt6*sqrt6
sqrt6在这个环内是不可约元
但却不是素元

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