转载

TRX

质疑素数定理的实用价值   
新华网 （2002-08-19 14:10:10）  
稿件来源：发展论坛  
--------------------------------------------------------------------------------

　　作者: 胡思之
　　证明数学题，必然地要用到某些数学定理。目前，在计算素数分布问题时，应用素数定理似乎成为首选之定理，舍此则会被贬为浅薄，唯有应用素数定理才是正路子。于是乎，凡言及到素数之问题，不分场合，都可见到一些素数定理的踪影。专业人士在应用素数定理时，以修正素数定理中的等价函数为目标，设计出了许多的函数，用以修正Lix(x)函数。因为Lix(x)函数之值是确定的，赋予多大的x，就有相应的值映射之，唯有用其中的等价函数来修正。譬如，陈景润先生在解哥德巴赫猜想的p(1,2)时，就创立一个Ω函数，修正Cx函数之值。业余人士在应用素数定理时，一般都是用x/lgx函数直接计算，毕竟Lix(x)函数是要用到积分，有一个近似之值也就可以了。
　　然而，素数定理是否真的有资格充此重任？以鄙人愚见，实是一场闹剧也。让我们看一下，所谓的素数究竟是什么样的货色。
　　从素数定理的证明中我们可以看到，其先是以契比雪夫不等式为依据，经历了好几次的等价，最后证明了以Lix(x)函数加一个等价函数o(x)，等价于π(x)函数。也就是说，所谓的素数定理仅仅是π(x)函数的代用品，只不过是用对数函数替代了自然数列中的埃拉托色尼筛法来进行计算而已。
　　有一点必须指出，在自然数列中应用埃拉托色尼筛法，对于π(x)函数，数论是不承认其是有出现概率的。因为数论中有这样一个定理：“素数的出现概率为零”。但令人奇怪的是，对于素数定理，却赋予其是自然数列中素数分布的密度之称谓。真搞不懂出现概率与密度有何区别？难道密度就不是概率了。
　　知道了素数定理仅仅是π(x)函数的等价，也就知道其源于自然数列中的素数之分布，离开自然数列，其所谓的素数分布之密度也就不再了。故而，所谓的素数定理只能是应用于类似于自然数列这样的数列，因为自然数列中的元素都是单一的自然数。
　　我们知道，哥德巴赫猜想是加法关系中的一道习题，其每一元素中有二个自然数。显然，在这种场合下，素数定理是无法予以计算的。为了满足素数定理的计算方法，有人想出了变加法关系为减法关系，以x-p=n为前提，等式之右边也就变成只具一个自然数的数序了。只是可惜，由于素数p在自然数列中的出现是不规则的，x-p也只能是一些不规则的自然数之堆积，所以，是不能直接地对x-p进行剖析的，必须另想别法。于是乎，有人想出了一种所谓的大筛法，即对x-p不是一个一个地进行小筛法的筛选，而是仅对特定的等差数列i+kn进行大筛法的筛选。
　　【对等差数列中素数分布的研究是一个十分困难但又非常重要的问题，它是研究哥德巴赫猜测的基本工具。若我们用π(x;k,l)表示在等差数列l+kn中不超过x的素数个数，则已证明了下面的定理：
　　定理3.3 若k≤log"20 x，则有 　　
　　π(x;k,l)={Lix/ψ(k)}+o{xe"(-c(logx"1/2)). (3.53) 　　
　　这里ψ(k)为欧拉函数，c为一正常数。 　　
　　定理3.3是解析数论中一个重要的定理，它是经过了许多数学家的努力才得到的，是我们研究哥德巴赫猜测的基本定理。由于定理的证明要用到极为深刻的解析方法，我们在这里就不再给出它们的证明了。
　　注：这儿的条件k≤log"20 x，仅是为了叙述方便，事实上当k≤log"A x时定理亦成立，其中A为一任意固定的正常数。】见潘承洞教授著《素数分布与哥德巴赫猜想》第65页。
　　我们知道，素数定理仅仅是π(x)函数的近似，对于π(x;k,l)函数，还原为用π(x)函数来表示，则有：
　　π(x;k,l)=π(x)/ψ(k) 　　
　　也就是说，对于以k为模的简化剩余类而言，其素数分布的情况都是一样的，因为都是除以同一个ψ(k)函数。 　　
　　由此可知，用所谓的大筛法对等差数列i+kn中素数的分布情况进行计算，千篇一律地都是除以欧拉函数，对素数定理中的等价函数作再精确的计算，还能精确过π(x)/ψ(k)吗？显然，数论学家是知道这一切的，因此，对哥德巴赫猜想的研究，只到陈景润先生的p(1,2)为止，否则，就要露出马脚来了。因为初等数论中有这样的一个定理：“形似等差数列i+kn中的素数有无穷多个”。所以，不管如何地修正素数定理中的等价函数，其获得其中的素数有无穷多个之值是不会变的。我想，那些数论学家一再强调“现有的数学理论无法解出哥德巴赫猜想之论调”，也许正是出于此缘故。
　　反省一下，数论学家之所以解不出哥德巴赫猜想，不正是由于滥用素数定理而导致的吗？因为他们的研究不是根据实际情况，而是为了迎合素数定理只能对单一的自然数之数列进行计算的需要，制定出莫须有的大筛法而造成的。
   ==>欢迎进入讨论