【趣题征解】证明：若正整数 n 不是 4 的倍数，则 1^n+2^n+3^n+4^n 必能被 10 整除

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/01 02:36am 第 3 次编辑]

【趣题征解】证明：若正整数 n 不是 4 的倍数，则 1^n+2^n+3^n+4^n 必能被 10 整除。

elimqiu

1+2^n+3^n+4^n 显然是偶数并且与 1+2^n+(-2)^n+(-1)^n 关于5同余。
后者当n是奇数时等于0所以1+2^n+3^n+4^n是5的整数倍。
当n不是奇数又不是4的倍数的时候n=4k+2, k=0,1,2,...
以下用归纳法证明
1+2^(4k+2)+(-2)^(4k+2)+(-1)^(4k+2)=2(1+2^(4k+2)) 是5的倍数：
当k=0时 1+2^(4k+2) = 5
假定对某k 1+2^(4k+2)是5的倍数，则
1+2^(4(k+1)+2)=1+16(2^(4k+2))=15(2^(4k+2))+1+2^(4k+2)
也是5的倍数。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
综上，当n不是4的倍数时 1^n+2^n+3^n+4^n 必能被 10 整除

FARSPACEMAN

下面引用由luyuanhong在 2009/10/01 00:53am 发表的内容：
【趣题征解】证明：若正整数 n 不是 4 的倍数，则 1^n+2^n+3^n+4^n 必能被 10 整除。

有一个比较简单的思路供参考：
探索1^n的个位数字随n变化有什么规律。。
2^n的个位数字随n变化有什么规律。。
3^n的个位数字随n变化有什么规律。。
4^n的个位数字随n变化有什么规律。。

luyuanhong

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/01 11:08am 发表的内容：
有一个比较简单的思路供参考：
探索1^n的个位数字随n变化有什么规律。。
2^n的个位数字随n变化有什么规律。。
3^n的个位数字随n变化有什么规律。。
4^n的个位数字随n变化有什么规律。。

对。楼上 FARSPACEMAN 的想法很好。

elimqiu

最简的办法可能是验证 n=1,2,3,再证n=k 时命题真可以推出 n=k+4 时命题也真。

FARSPACEMAN

现在是2009年10月1日12时10分
中华人民共和国万岁！世界人民大团结万岁！

技术员

[这个贴子最后由技术员在 2009/10/01 00:49pm 第 1 次编辑]

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/01 00:10pm 发表的内容：
现在是2009年10月1日12时10分
中华人民共和国万岁！世界人民大团结万岁！

如果你是个路边乞讨的叫花子。也会这样叫吗？[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 技术员 在 时添加 -=-=-=-=-
因为我看见过路边的叫花子为了捡了路边的垃圾被打耳光。同情弱者，别只看中国表面光鲜的一面。

moranhuishou

1  1  1  1
2  4  8  6
3  9  7  1
4  6  4  6
竖着看！第4组不行之外，其他都是10n.

moranhuishou

[这个贴子最后由moranhuishou在 2009/10/01 03:48pm 第 1 次编辑]

1  1  1  1  1  1  1  1  1 ...
2  4  8  6  2  4  8  6  2...
3  9  7  1  3  9  7  1  3...
4  6  4  6  4  6  4  6  4...
就这么简单。
若n为4的倍数，其尾和数1+6+1+6=14.也就是个位数恒等于4.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/07/21 03:09pm 第 1 次编辑]

楼上根据 1^n+2^n+3^n+4^n 中各项个位数变化的规律给出的证明很好！我出这个题目，本来就是希望得到这样的证明。
下面，我再出一个类似的题目，大家看看应该怎样证明：
【趣题征解】证明：若正整数 n 不是 6 的倍数，则 1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n 必能被 7 整除。