【趣题征解】给定p>1, 随机地取2正整数m,n, 求m/n 不能表成有限p进小数的概率

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/10/01 05:51pm 第 1 次编辑]

给定整数 p>1, 随机地取二正整数m,n, m/n 不能表示为有限p进制小数的概率是多少？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/02 05:45pm 第 1 次编辑]

m/n 能表示成有限 p 进制小数的概率趋于 0 ，是一个无穷小量。
   
m/n 不能表示成有限 p 进制小数的概率是 1 减去一个无穷小量，即趋于 1 。


以上的推导只适用于 p 是素数的情形。

elimqiu

谢谢陆老师的解答。直观上看无限循环小数出现的机会是多过有限小数。不过当p（>1）不是素数时， n=(p^k) q_i, m/n 为有限p进小数未必要求 m 是 q_i 的倍数。例如 p=10, m=1,n=2
陆老师的解法很有启发。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/03 11:53am 第 1 次编辑]

elimqiu 指出的很对，我在上面第 2 楼中的推导，只适用于 p 是素数的情形，不适用于 p 不是素数的情形。
当 p 不是素数时，推导过程要稍微复杂一些，但结论是一样的。下面是我改进后的对任何 p 都适用的推导证明：