[watermark]试论康托定理的证伪和康托悖论罗素悖论的解悖方法
梅飞
（中国思维网网虫，又网名鸿铭）
鸣谢：思维网网友博沙先生、天茂先生
[摘要] 本文给出康托定理的反例，引进定集与悖集的概念区分，指出康托反证法的失效原因，从而给出了康托定理的证伪，并提出康托悖论、罗素悖论的解悖方法。
[关键词] 康托定理 定集 悖集 康托悖论 罗素悖论
1 康托定理
康托定理：对任意集合A，都有A不等势于它的幂集P(A)。
说明：A的幂集P(A)是指以A的所有子集作为元素所构成的集合。
康托用的是反证法来证明康托定理，证明过程如下：
假设A的势和P(A)的势相等，则必有影射f: A→P(A)是双射（一一对应）。
f把A的每一元素x映射到A的子集f(x), 元素x可能在子集f(x)中, 也可能不在子集f(x)中。定义集合D：
D＝{x|x\∈f(x),x∈A}，这样的集合D是A的子集，D肯定属于P(A)。
因为D∈P(A)，根据假设，于是存在唯一一个元素y∈A，使得f(y)＝D。现在看y属不属于D。
1、若y∈D，则由D的定义知，y\∈f(y)，而f(y)＝D，所以y\∈D，矛盾；
2、若y\∈D，而D＝f(y)，则y\∈f(y)，于是由D的定义知，y∈D，矛盾。
这样，我们看到，在假设“存在唯一一个元素y属于A，使得f(y)＝D”的情况下，得出了矛盾,那么，就不存在y属于A，使得f(y)=D。也就是说，P(A)中的一个元素D在A中没有原像。所以，f : A→P(A)不是双射（一一对应）。
因此，A和P(A)不可能等势。而且，P(A)的势要比A的势大得多。
说明：∈表示属于，\∈表示不属于。
2 康托定理的反例
记：
E2={x|x=2或由2表构的集合}，
其中，由2表构的集合，是指由2且只由2，并可能附加集合表达符{、}，以及逗号分隔符、省略号所表达构造出来的集合。例如，{2}是一个由2表构的集合，{2,{2}}是一个由2表构的集合，{2,{2},{{{2}}}}也是一个由2表构的集合。
比较E2和它的幂集P(E2)，只有一个元素不同，其它元素都相同：
1、E2的元素，只要不是2，就都是P(E2)的元素；
2、P(E2)的元素，只要不是空集φ，就都是E2的元素。
可以构造E2到它的幂集P(E2)的映射g，使得对于x∈E2：
1、若x=2,规定g(x)=φ(空集)；
2、若x≠2,则x是由2表构的集合，x必是E2的子集，x∈P(E2)，规定g(x)=x。
不难证明，g是E2到它的幂集P(E2)的双射，从而E2与它的幂集P(E2)等势。
该反例直接证明了康托定理并不成立。
3 康托反证法证明的疑点
虽然反例可以直接举证康托定理的不成立，但是，有必要仔细分析上述康托反证法证明过程当中的问题所在。
在康托的反证法证明过程当中，D＝{x|x\∈f(x),x∈A}，康托指出D是A的一个子集，当然，这意味着认定D肯定是一个集合。
但是，假设D是一个集合，那么D是A的子集，正如康托反证法所证明的那样，就存在y∈A，使得：
1、如果y∈D，则可导出y\∈D，矛盾。
2、如果y\∈D，则可导出y∈D，矛盾。
这样，就存在元素y，使得y既不能是D的元素，又不能不是D的元素，这样的D还能是一个集合吗？
结合反例来看，即A=E2时，双射f就是g，那么：
D＝{x|x\∈f(x),x∈A}={x|x\∈g(x),x∈E2}={x|x\∈x,x∈E2}，
这时的D其实就是一种特殊形式的罗素集，那么，罗素集到底是不是一个集合？
4 罗素集
记E是大全集，即是由所有集合所组成的集合。那么，罗素集被定义为：
R={x|x\∈x,x∈E}。
罗素集R是罗素构造的一个集合，当然和上述的D一样，也被普遍认为肯定是一个集合，但R果真是一个集合吗？
假设R是一个集合时，就有R∈E，并且：
1、如果R∈R，那么按照R的定义，R\∈R，矛盾；
2、如果R\∈R，那么由于又有R∈E，根据R的定义，R∈R，矛盾。
这说明R既不能是自身的元素，也不能不是自身的元素，那么，这样的R还能是一个集合？
5 集合的概括公理
集合概括公理可表述为：满足性质h的所有对象可以组成一个集合S，即S={x|h(x)}，其中的h(x)意为“x具有性质h”。
概括公理给人的印象是，只要给出性质，就能产生一个集合，认定了任何性质都可以决定一个集合，于是前述的D和罗素集R就似乎名正言顺地成了集合。
6 集合元素的确定性特征
但是，一个集合必须具有的最基本特征，是元素的确定性特征，指元素属于该集合是确定性的，要么属于它，要么不属于它。
如果存在元素y,它属于S和它不属于S不能确定，比如，一方面由它属于可推出不属于，另一方面由它不属于可推出属于，那么，S就不满足元素的确定性特征，就不能说S是一个集合。
也就是说，上述集合概括公理所指的“满足性质h”，应该明确为“确定性”的满足。如果不是确定性的满足，那么，S={x|h(x)}就不具备元素的确定性特征，就不能构成一个集合。
7 定集和悖集
应该说，我们在按照集合的概括公理构造集合时，不能忘记必须满足集合元素的确定性特征，为了保证元素确定性特征的实现，就有必要引进不同的概念，来区分所构成的S到底是不是一个集合。
定集：确定性满足性质h的所有对象可以组成一个集合S，即S={x|h(x)}，由于S具有元素的确定性特征，可以称S是一个定集。
悖集：如果假设S是一个定集时，存在y，使得y∈S等价于y\∈S，那么就称S是一个悖集。
定集才是集合，满足元素的确定性特征；而悖集并不是集合，不满足元素的确定性特征。
悖集在被假设为定集，即被认为是集合时，就导致两难困境。即对于悖集S，在假设它为集合时，就存在y，使得：
1、如果y∈S，那么y\∈S，矛盾；
2、如果y\∈S，那么y∈S，矛盾。
但对于悖集，如果不假设它为定集（即集合），就不会引发属于等价于不属于的矛盾。
8 康托定理不成立
通过分析康托反证法可以知道，D并不是一个定集（集合），而是一个悖集。因为假设D是定集时，竟然有元素y，使得y∈D等价于y\∈D，那么，D是一个悖集，D这个悖集不满足元素的确定性特征，就不是一个集合。
既然D不是一个集合，就不能作为A的子集，必然D\∈P(A)，那么，D在A中并不存在关于双射f的原像，反证法的矛盾自然不会产生。
康托反证法失效，那么，康托定理就不成立。
康托反证法失败的原因，是由于康托错误的认定D是一个集合，就产生了一个错误的康托定理。
9 罗素集不是一个集合
罗素集R也是一个悖集，因为假设R是一个定集时，竟然R∈R等价于R\∈R，根据定义，R是一个悖集。
既然R是一个悖集，就不满足元素的确定性特征，就不是一个定集，也即不是一个满足元素确定性的集合。
10 康托悖论的解悖
康托悖论又称最大基数悖论，1899年8月31日,康托在寄给戴德金的一封信中,给出了这个悖论。由康托定理表明，任意集合的幂集的基数大于该集合的基数，那么考察大全集E，显然，E应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其幂集的基数按康托定理又必然是更大的，那么，大全集就不成其为大全集了，这就是康托悖论。
但是，前文指出康托定理并不成立，这样一来，就无法证明大全集的幂集的基数大于大全集的基数，那么康托悖论就自然得到了消解。
其实：
1、对于任意x∈E,那么由单个元素x构成的集合{x}∈P(E),所以|E|≤|P(E)|；
2、对于任意y∈P(E)，都有y∈E，所以|P(E)|≤|E|。
这其实是说明|E|=|P(E)|，也即大全集与它的幂集应该基数相等，是等势的。
11 罗素悖论的解悖
罗素悖论是1901年6月由罗素提出的，罗素使用集合论中几个最简单和最基本的概念“集合”、“元素”和“属于”,构造了一个集合论悖论，从而引发了第三次数学危机。
罗素悖论是认定罗素集R是一个集合，那么，就自然导致R∈R等价于R\∈R的矛盾，悖论就产生。
但罗素悖论成立的前提，必须认定罗素集R确实是一个集合，否则，R就不属于大全集，矛盾就导不出来。
但不能不指出的是，罗素是错误的认定了罗素集R是一个集合，从而导致了悖论。而罗素集R其实并不是一个集合，不满足元素的确定性特征，只是一个悖集，去认定它为集合就会致悖，不去假设它为集合就不会致悖。
12 理发师悖论和图书馆悖论的解悖
理发师悖论和图书馆悖论是罗素悖论的通俗版，在这里一并做出解悖方案。
符号约定：
1、用“m$n”表示“m对n不具有关系S”；
2、用“mSn”表示“m对n具有关系S”。
ySy致悖定理：
如果F是一个集合，记：
V={x|x$x,x∈F}。
假设存在y∈F，使得对于任意x∈F都满足：
(1)、如果x∈V，必有ySx；
(2)、如果x\∈V，必有y$x。
那么，ySy等价于y$y。
证明：
分两种情况讨论如下：
1、如果ySy，根据V的定义，y\∈V，而y∈F，那么根据(2)，y$y；
2、如果y$y，而y∈F，根据V的定义，y∈V，那么根据(1)，ySy。
定理即证。
将ySy悖论中的S关系改成“理发”，就是理发师悖论；将S关系改成“索引”，就是图书馆悖论。S关系，还可以另外改成“刮胡子”、“看病”、“批评”等，从而构成五花八门的悖论。
ySy解悖定理：
如果F是一个集合，记：V={x|x$x,x∈F}。
假设存在y，使得对于任意x∈F都满足：
(1)、如果x∈V，必有ySx；
(2)、如果x\∈V，必有y$x。
那么必有y\∈F。
证明：
假设y∈F，那么根据上面的致悖定理可知必有ySy等价于y$y，矛盾，所以，y∈F的假设不能成立，必有y\∈F。
定理即证。
ySy解悖定理告诉我们，如果理发师能够做到所承诺的服务，那么，这位理发师必然不是本地的人，而是外地的人，否则，所承诺的服务就是不切实际的空头支票。对于图书馆悖论而言，要在图书馆中找到或编出“要索引且只索引所有不索引自己”的书籍，是根本不可能的事情。
罗素集解悖定理：
如果F是一个集合，记广义罗素集T={x|x\∈x,x∈F}，那么必有T\∈F。
证明：
令关系S=“被属于”，关系$=“不被属于”，那么有：
T={x|x$x,x∈F}。
并且，存在y=T，使得对于任意x∈F都满足：
(1)、如果x∈T，必有TSx；
(2)、如果x\∈T，必有T$x。
根据ySy解悖定理，必有T\∈F。
定理即证。
将这里的F取为大全集时，那么T=R，必有R\∈E。
参考网址讨论资料
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http://chinathink.net/forum/dispbbs_3095_225003_1.html
http://chinathink.net/forum/dispbbs_3095_219951_1.html
http://chinathink.net/forum/dispbbs_3095_211225_1.html
http://chinathink.net/forum/dispbbs.asp?boardid=3095&star=18&replyid=937641&id=222579&skin=0&page=1
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狗仔卡
发表于 2009-10-3 15:45
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