【趣题征解】已知 1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)，证明对奇数 n 必有 x^n+y^n+z^n=(x+y+

luyuanhong

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【趣题征解】已知 1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)，证明对奇数 n 必有 x^n+y^n+z^n=(x+y+z)^n 。

195912

luyuanhong:
     题:已知   1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)
        证明对奇数n必有
               x^n+y^n+z^n=(x+y+z)^n
        证明   因为
               1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)
               所以
               (yz+xz+xy)/xyz=1/(x+y+z)
               即
               (yz+xz+xy)(x+y+z)=xyz
               这样,便有
                z(x+y)^2+xy(x+y)+z^2(x+y)=0
               从而,推出
                (x+y)(y+z)(z+x)=0
               显然,有
                x+y=0  或
                y+z=0  或
                z+x=0
                不失一般,当
                 x+y=0  则
                 x=-y
                所以,当n为奇数时,必有
               (-y)^n+y^n+z^n=(-y+y+z)^n
               即命题为真.

luyuanhong

楼上 195912 的证明很正确！