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【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

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发表于 2009-10-5 12:03 | 显示全部楼层 |阅读模式
[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/06 11:14am 第 2 次编辑]

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD 。

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发表于 2009-10-5 13:25 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

若AB平行于CD,则弦AD BC长于AB  CD ,与所设AB  CB为最长矛盾。
 楼主| 发表于 2009-10-5 13:32 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

下面引用由moranhuishou2009/10/05 01:25pm 发表的内容:
若AB平行于CD,则弦AD BC长于AB  CD ,与所设AB  CB为最长矛盾。
这个思路不错,但是,为什么“弦 AD BC 长于 AB  CD ”,必须要有详细的说明,这正是本题证明的关键。
发表于 2009-10-5 13:50 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

由于AB CD 为闭曲线上的两条最长平行线,实际上这两条线的长度只能是无限接近的,也就是如果连接AC=CD,这是一个无限接近矩形(长方形)的图形,所以其斜边之长度大于一边之长度.
 楼主| 发表于 2009-10-6 09:28 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

下面引用由moranhuishou2009/10/05 01:50pm 发表的内容:
由于AB CD 为闭曲线上的两条最长平行线,实际上这两条线的长度只能是无限接近的,也就是如果连接AC=CD,这是一个无限接近矩形(长方形)的图形,所以其斜边之长度大于一边之长度.
楼上的这一段“证明”,乱七八糟、似是而非、不知道在说些什么,完全不像一个严格的数学证明。
其实,这题应该用“反证法”来证明。

“反证法”的做法是:首先假设要证明的结论不成立,然后用逻辑推理,推导出矛盾,否定假设。
本题要证明的结论是:“AB 不可能平行于 CD ”,所以反证法提出的假设,就是:“假设 AB∥CD” 。
因为 AB ,CD 都是闭曲线的长度最长的弦,所以必有 AB=CD(不是什么“长度只能是无限接近”)。
然后,从 AB∥CD 和 AB=CD 可以推导出 ABCD 是一个平行四边形(不一定是“矩形(长方形)的图形”)。
再下一步,可以推导出平行四边形的两条对角线 AC 、BD 中,必有一条对角线长度大于 AB 和 CD

(怎么推导出这个结论?这也是证明的一个关键,是不能一句话带过的,具体的证明过程,留给大家思考。)

因为对角线也是闭曲线的弦,所以就有一条弦长度大于 AB 和 CD ,与“ AB ,CD 是长度最长的弦”发生矛盾,
所以,反证法提出的假设“假设 AB∥CD”不能成立,所以,得出本题的结论:“AB 不可能平行于 CD ”。

以上这样的证明,才是严格的数学证明。
发表于 2009-10-6 09:55 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

下面引用由luyuanhong2009/10/06 09:28am 发表的内容:
楼上的这一段“证明”,乱七八糟、似是而非、不知道在说些什么,完全不像一个严格的数学证明。
其实,这题应该用“反证法”来证明。
“反证法”的做法是:首先假设要证明的结论不成立,然后用逻辑推理,推导出矛 ...
这样的说法仅仅表明了一个证明思路,谈不上什么规范严格。
对于此类题本不擅长所以也很少动手,时间久了连怎样表述也有点生疏。谢谢批评指出。
发表于 2009-10-6 10:22 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

        如果闭曲线是 工 字形,主题是否都成立?
发表于 2009-10-6 10:33 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

下面引用由luyuanhong2009/10/06 09:28am 发表的内容:
楼上的这一段“证明”,乱七八糟、似是而非、不知道在说些什么,完全不像一个严格的数学证明。
其实,这题应该用“反证法”来证明。
“反证法”的做法是:首先假设要证明的结论不成立,然后用逻辑推理,推导出矛 ...
把luyuanhong的证明补完整了。
平行四边形中,必有一对角线长度大于对边长度。
证明:设平行四边形ABCD,AC和BD为对角线。
由于∠DAB+∠ABC=180°
所以∠DAB和∠ABC中,必有一角不小于90°,
无妨设∠DAB≥90°,

BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(∠DAB)
      ≥AB^2+AD^2
      >AD^2
所以BD>AD。
 楼主| 发表于 2009-10-6 11:20 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

下面引用由kanyikan2009/10/06 10:33am 发表的内容:
把luyuanhong的证明补完整了。
平行四边形中,必有一对角线长度大于对边长度。
证明:设平行四边形 ABCD,AC 和 BD 为对角线。
由于 ∠DAB+∠ABC=180°
所以 ∠DAB 和 ∠ABC中,必有一角不小于90°,
无妨设 ∠DAB≥90°,
则 BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(∠DAB)≥AB^2+AD^2>AD^2
所以 BD>AD。
很好,楼上这样才是严格的证明(最好还要画一个图)。
 楼主| 发表于 2009-10-6 11:33 | 显示全部楼层

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦,证明 AB 不可能平行于 CD

下面引用由wangyangke2009/10/06 10:22am 发表的内容:
如果闭曲线是 工 字形,主题是否都成立?
看看下面这个图:

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