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【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

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发表于 2009-10-6 12:18 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-11-21 08:29 编辑

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/06 00:20pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】设 p 是素数,证明:若正整数 n 不是 p-1 的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被 p 整除。

    (这是以前几个【趣题征解】帖子中我提出的题目向一般情形的推广)
发表于 2009-10-6 13:05 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

注意费马小定理a^(p-1)=1 (mod p) 和 a^(mp-1)=1 (mod p)即可。
 楼主| 发表于 2009-10-6 13:42 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

下面引用由moranhuishou2009/10/06 01:05pm 发表的内容:
注意费马小定理a^(p-1)=1 (mod p) 和 a^(mp-1)=1 (mod p)即可。
对,但这只是证明中比较容易的一部分,更困难的是,还要证明:
当 1≤n<p-1 时,1^n+2^n+…+(p-1)^n 都能被素数 p 整除。
(因为这是一般的情形,不可能靠逐一验算的方法来证明)
发表于 2009-10-6 23:49 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/06 11:50pm 第 1 次编辑]

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发表于 2009-10-7 17:34 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

言发于衷,向 luyuanhong 老师建议:
    首先,鄙人不避羞耻--------此题,鄙人做不出。
    次者,向 luyuanhong 老师建议:在近期,不要公布证明;
    论坛中,高手如云,蔚蔚壮观;论坛盛事-------
    同时,有些不自知的牛皮筒子,学者自视;其实是,每每显露嗷嗷待哺之态势:但其无端打压广大的---------学问程度远胜其父母亲友-----的网友;颇有遮天蔽日之势;鄙,老年痴呆者和一些业余爱好者,似乎是蠢货的身份挨撑--------或悠然或娱心-------论坛,,,似乎被挤兑得透不过气来----------
    因此,向 luyuanhong 老师建议,暂不公布证明;让那些牛皮露露,看看他们的能耐,,,
发表于 2009-10-7 17:43 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

下面引用由wangyangke2009/10/07 05:34pm 发表的内容:
言发于衷,向 luyuanhong 老师建议:
    首先,鄙人不避羞耻--------此题,鄙人做不出。
    次者,向 luyuanhong 老师建议:在近期,不要公布证明;
    论坛中,高手如云,蔚蔚壮观;论坛盛事-------
...

陆老师推出《趣题征解》系列是为了让大家不要发无聊的帖子,让大家来讨论有实质意义的数学问题,形成一个好的学术氛围。并不是看看谁做的出谁做不出,羞辱一下做不出的人。如果这样就和陆老师的本意大相径庭了。让大家在一个平和的环境里踏实的研究问题,这才是我们要的结果。
发表于 2009-10-7 17:57 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

哈,FARSPACEMAN 有意思;似乎要挤盖老年痴呆者的建议----
发表于 2009-10-7 18:00 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

下面引用由wangyangke2009/10/07 05:57pm 发表的内容:
哈,FARSPACEMAN 有意思;似乎要挤盖老年痴呆者的建议----

。。。
发表于 2009-10-7 18:44 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

下面引用由FARSPACEMAN2009/10/07 05:43pm 发表的内容:
陆老师推出《趣题征解》系列是为了让大家不要发无聊的帖子,让大家来讨论有实质意义的数学问题,形成一个好的学术氛围。并不是看看谁做的出谁做不出,羞辱一下做不出的人。如果这样就和陆老师的本意大相径庭了。 ...
是的。
不过也不能排除其他别有用心的人有“看谁做的出谁做不出,羞辱一下做不出的人”的。
只不过这些小人的用心没有得逞(永远也不可能得逞)而已。
发表于 2009-10-7 23:16 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/07 11:16pm 第 1 次编辑]
下面引用由FARSPACEMAN2009/10/06 11:49pm 发表的内容:
提示:利用上面的恒等式,用数学归纳法证明原命题对n=1,2,…,p-2都成立。

大家可以试着用这个恒等式来解决原题。
  

http://bbs.mathchina.com/usr1PvjRWKew/5/51/CEB4C3FCC3FB_1254844093.jpg
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