【趣题征解】证明：若正整数n不是p-1的倍数，则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/06 00:20pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】设 p 是素数，证明：若正整数 n 不是 p-1 的倍数，则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被 p 整除。

    （这是以前几个【趣题征解】帖子中我提出的题目向一般情形的推广）

moranhuishou

注意费马小定理a^(p-1)=1 (mod p) 和 a^(mp-1)=1 (mod p)即可。

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2009/10/06 01:05pm 发表的内容：
注意费马小定理a^(p-1)=1 (mod p) 和 a^(mp-1)=1 (mod p)即可。

对，但这只是证明中比较容易的一部分，更困难的是，还要证明：
当 1≤n＜p-1 时，1^n+2^n+…+(p-1)^n 都能被素数 p 整除。
（因为这是一般的情形，不可能靠逐一验算的方法来证明）

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/06 11:50pm 第 1 次编辑]

wangyangke

言发于衷，向 luyuanhong 老师建议：
    首先，鄙人不避羞耻--------此题，鄙人做不出。
    次者，向 luyuanhong 老师建议：在近期，不要公布证明；
    论坛中，高手如云，蔚蔚壮观；论坛盛事-------
    同时，有些不自知的牛皮筒子，学者自视；其实是，每每显露嗷嗷待哺之态势：但其无端打压广大的---------学问程度远胜其父母亲友-----的网友；颇有遮天蔽日之势；鄙，老年痴呆者和一些业余爱好者，似乎是蠢货的身份挨撑--------或悠然或娱心-------论坛，，，似乎被挤兑得透不过气来----------
    因此，向 luyuanhong 老师建议，暂不公布证明；让那些牛皮露露，看看他们的能耐，，，

FARSPACEMAN

下面引用由wangyangke在 2009/10/07 05:34pm 发表的内容：
言发于衷，向 luyuanhong 老师建议：
    首先，鄙人不避羞耻--------此题，鄙人做不出。
    次者，向 luyuanhong 老师建议：在近期，不要公布证明；
    论坛中，高手如云，蔚蔚壮观；论坛盛事-------
...

陆老师推出《趣题征解》系列是为了让大家不要发无聊的帖子，让大家来讨论有实质意义的数学问题，形成一个好的学术氛围。并不是看看谁做的出谁做不出，羞辱一下做不出的人。如果这样就和陆老师的本意大相径庭了。让大家在一个平和的环境里踏实的研究问题，这才是我们要的结果。

wangyangke

哈，FARSPACEMAN 有意思；似乎要挤盖老年痴呆者的建议----

FARSPACEMAN

下面引用由wangyangke在 2009/10/07 05:57pm 发表的内容：
哈，FARSPACEMAN 有意思；似乎要挤盖老年痴呆者的建议----

。。。

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/07 05:43pm 发表的内容：
陆老师推出《趣题征解》系列是为了让大家不要发无聊的帖子，让大家来讨论有实质意义的数学问题，形成一个好的学术氛围。并不是看看谁做的出谁做不出，羞辱一下做不出的人。如果这样就和陆老师的本意大相径庭了。 ...

是的。
不过也不能排除其他别有用心的人有“看谁做的出谁做不出，羞辱一下做不出的人”的。
只不过这些小人的用心没有得逞（永远也不可能得逞）而已。

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/07 11:16pm 第 1 次编辑]

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/06 11:49pm 发表的内容：
提示：利用上面的恒等式，用数学归纳法证明原命题对n=1,2,…，p-2都成立。

大家可以试着用这个恒等式来解决原题。
  
http://bbs.mathchina.com/usr1PvjRWKew/5/51/CEB4C3FCC3FB_1254844093.jpg