[趣题征解]。。。

FARSPACEMAN

LBSALE[99]LBSALE[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/07 06:17pm 第 1 次编辑]

能否在一个边长为整数的正方形里找出一点，使其到各顶点的距离分别为有理数?

moranhuishou

仅能够在一个边长为无理数的正方形里找出一点，使其到各顶点的距离分别为有理数，哈哈...

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/07 07:01pm 第 2 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/10/07 06:50pm 发表的内容：
仅能够在一个边长为无理数的正方形里找出一点，使其到各顶点的距离分别为有理数，哈哈...

。。 :em03: 你好像没有买我的帖子，怎么知道题目的？好奇怪

kanyikan

在边长为e或pi的正方形内，无这样的点.

kanyikan

在边长为√2的正方形内，中心就是一个满足条件的点。

FARSPACEMAN

下面引用由moranhuishou在 2009/10/07 06:50pm 发表的内容：
仅能够在一个边长为无理数的正方形里找出一点，使其到各顶点的距离分别为有理数，哈哈...

这不是原题！请购买原贴

moranhuishou

试做一下（或许不能彻底，算一个思路吧）：
题目：能否在一个边长为整数的正方形里找出一点，使其到各顶点的距离分别为有理数?
第一步——
设定ABCD是一个边长为M的正方形。
设定CA为y轴，CD为x轴,C点坐标为（0，0）。
假设正方形中有一点Q(r,t),到各顶点的距离分别为有理数。

moranhuishou

[这个贴子最后由moranhuishou在 2009/10/08 09:01am 第 1 次编辑]

第二步——
因为如果Q点到各顶点的距离为有理数，容易证明，这个距离可以扩大化为正整数，所以为了方便叙述，不妨等价将命题改为：
能否在一个边长为整数的正方形里找出一点，使其到各顶点的距离分别为正整数?

moranhuishou

[这个贴子最后由moranhuishou在 2009/10/08 09:13am 第 1 次编辑]

第三步——
这样，就得出点Q到四个顶点的距离的表达式：
QC=(r^2+t^2)^(1/2)
QD=((M-r)^2+t^2)^(1/2)
QA=(r^2+(M-t)^2)^(1/2)
QB=((M-r)^2+(M-t)^2)^(1/2)

moranhuishou

第四步：
首先证明，如果Q到各点的距离为整数，那么r,t只能为整数（有理数）
证 假定r,t不全为整数，虽然可有
QC=(r^2+t^2)^(1/2)
为整数。（例如令r=t=根号2）
但因为
((M-r)^2=M^2-2rM+r^2，(M-t)^2=M^2-2tM+t^2必至少有一个为无理数，其开方亦必为无理数，所以QA，QB,QC必为无理数。
所以如果Q到各点的距离为整数，那么r,t只能为整数