[原创]Cantor无最大基数定理的证明是错误的

zhaolu48

[watermark]　　　　　　　Cantor无最大基数定理的证明是错误的
　　　　　山东枣庄二中　赵　禄（电邮zhaolu48@163.com）
　　先看Cantor无最大基数定理："对任何非空集A，|P(A)|>|A|(即A的幂集P(A)的基数大于A本身的基数)"的原始证明．
　　证　①作映射g:A→P(A),x→{x},令B={{x}:x∈A} P(A)，,则g:A→B为一一映射，所以A～B P(A),从而|A|≤|P(A)|．
　　②证{A}≠{P(A)},即对任何映射f:A→P(A)都不可能是一一映射．用反证法，设存在一一映射f :A→P(A),x→f (x)= A(x)∈P(A),同时A(x)是A的一个子集．
　　令A*={x∈A:x不属于A(x)}                       (1)
从A～P(A)，对于A*∈P(A)，存在x1∈A,使得
　　　　　 f (x 1)=A*                                  (2)
　　若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f (x1)=A*；同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f (x1)= A*,都导矛盾．证毕．【注一】
　　证明的第(2)部分应该是存在着低级的逻辑错误：
　　因为已经假设f :A→P(A),x→f (x)= A(x)是一一映射，而且
　　令A*={x∈A:x不属于A(x)}　　(1)
　　那么对不同的x也应有不同的A(x)与其对应，从而也确定了不同的A*．
　　由(1)知A*≠A(x)，而f (x)= A(x)，f (x1)=A*，因此x≠x1．且A*∩A(x) =Φ，A*∪A(x) =A
　　因为(1)为：A*={x∈A:x不属于A(x)}≠{x∈A:x不属于A(x1)}
　　因此若x1∈A*,则由(1)，得到只能是x1不属于A(x)，而不是x1不属于A(x1)= f (x1)=A*；
　　若x1不属于A*，则x1∈A(x)≠A*，而不是x1∈A(x1)=f (x1)= A*．
　　因此在这里不应存在证明(2)中所述的"都导致矛盾"．
　　例如设A={a1,a2,a3,a4,…}为一可列集，它的幂集为P(A)。
　　f是A到P(a)的一个映射，在f下设a1→f(a1)={a1,a2}=A(a1)∈P(A)，(这时相当于x=a1,A(x)=A(a1)={a(1),a(2)})，则
　　A*={x∈A|x不属于{a1,a2}=A-{a1,a2}={a3,a4,…}
　　在f下如果令a3→A*=f(a3))=A(a3)={a3,a4,…},则a(3)∈A*
　　　　(这时相当于x1=a(3)，A(x1)=A(a3)=f(x1)=f(a3)=A*)
　　如果要使与A*对应的x1不属于A*,则可令a2→A*。
　　总之，这里不存在原始"证明"中的
"若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f (x1)=A*；同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f (x1)= A*"所导致矛盾。
　　设有限集A={a1,a2,a3,a4}，则
　　P(A)={{ },  {a1},  {a2},  {a1,a2},  {a3},   {a1,a3},  {a2,a3},  {a1,a2,a3},
{a4},{a1,a4},{a2,a4},{a1,a2,a4},{a3,a4},{a1,a3,a4},{a2,a3,a4},{a1,a2,a3,a4}}
　　A与P(A)本来就不存在一一映射，但用原"反证法"，假设f是一一映射，也不能导致矛盾，即反证法失效。也就是说用这种"反证法"，根本不会从这种假设导致矛盾。
　　在A中任取一个元素x，比如令a4→{a1,a2},则A*={a3,a4},再从{a1,a2,a3}中任取一个元素x1与A*对应，如果使x1∈A*,则x1=a3,如果使x1不属于A*,则x1=a1,或x1=a2。
　　这里根本就不存在"若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f (x1)=A*；同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f (x1)= A*,都导矛盾"的问题。
　　不知我们这些实数论界的权威们，为什么会容忍这样一个明显的逻辑错误的"证明"到今天。
　　【注一】《实分析与泛涵分析》(匡继昌编著，高等教育出版社，2002年8月第一版)264页，定理1.3．把原著中使用的集合符号"|  |"改编为"{  }"，把(1)、(2)改编为①、②，把(1.3)、(1.4)改编为(1)、(2)．
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不懂就问

你上面理解是错的，几个月没有还没有读懂作者的意思，所以怀疑它，最后否定它，有意思的朋友！
我来解释作者的意思
a4→{a1,a2},则说明a4∈A*，a3是不是属于A*还不知道，检查a3的映射才可知。
如果a3→{a1,a2，a3},则a3不属于A*。
读懂一个定理不是很容易的，如果明白了你就会有成就感，然后会重新审视以前对此事的看法。

不懂就问

一位台湾朋友对蒋春暄的评价，一次为诫吧！ 老天爷，他不写这种东西我还不知道原来他这么没有程度。 1. Zeta 函数只有在 Re(s)>1 处才能表示成该乘积，当然不能适用于 Re(s)=1/2 的情况。他一定根本没看过任何介绍 Zeta 函数或 Dirichlet 级数的书就乱套用这个等式。 2. 只有在确定后面的两个无穷乘积都收敛的时候才能对 Zeta(2s) 的乘积做那样的分解，这种基本常识连大二的人都知道。但是，在 0

zhaolu48

>a4→{a1,a2},则说明a4∈A*，a3是不是属于A*还不知道，检查a3的映射才可知。
>如果a3→{a1,a2，a3},则a3不属于A*。
　　不懂就问先生：
　　请先看A*的定义：
　　A*={x∈A:x不属于A(x)}，在一一映射的假设下，不同的x对应不同的A(x),不同的A(x)也确定了不同的A*，因此A*也应记为A*(x)。在原证明中，x与x1是不等的，因此
A*(x1)与A*(x)是不同的。原证明在证明过程中已经误把A*(x1)当做A*(x)了，还是先生您仔细看看吧。
　　可以证明自然数集N与它的幂集P(N)存在一一映射：
　　作映射：
　　f:N→P(N),2^(n1-1)+2^(n2-1)+…+2^(n(m)-1)→{n1,n2,…,n(m)}
　　　　　　　1→{ }
　　n(m)可以是不小于1的任意自然数n，而所有的{n1,n2,…,n(m)}构成了集合
　　N(m)={1,2,3,…,2^(n(M))-1}的幂集，2^(n1-1)+2^(n2-1)+…+2^(n(m)-1可以是N(m)中的除1以外的任意自然数，并且这个映射显然是单射。
　　这就是说对任意前n个自然数构成的集合
　　N(n)={1,2,…,n}的幂集P(N(n))的2^n个元素都有N中前2^n个自然数与其一一对应，那么可以说f是N到P(N)的一一映射，即P(N)是可列集。
　　有人可能说，你给出是P(N)中的有限元素的原象，并没有给出P(N)中的无限元素的原象，因此你的证明只是对有限集成立。在有限范围内得到的结论是不能推广到无限范围内的。
　　那么我们再看自然数集到偶数集的一一映射是如何作出的：
　　对任意自然数n∈N,在偶数集中都存在一个2n与其对应，即对应关系为
　　g:n→2n,g是N到偶数集的一一映射，
　　这里是把有限范围内得到的结论可以推广到无限的范围的。
　　那么对任意前n个自然数构成的集合的幂集，可与前2^n个自然数一一对应，那么为什么这个对应就不是N到P(N)的一一映射了呢？为什么要采用双重标准呢？前者n是任意自然数，后者也是n是任意自然数。n是自然数，2^n就不是自然数了吗？
　　在现在的实数论中象这样说不清的地方是很多的，她的基础非常不稳固，跟几何比起来要差多了。
　　“你上面理解是错的，几个月没有还没有读懂作者的意思，所以怀疑它，最后否定它，有意思的朋友！”
　　作者的意思我读完就懂了，作者的“意思”错在哪里，经过两个多小时才找到，因此说完全懂了作者阐述的内容的逻辑错误。可是先生您至今还没弄明白作者论述的错误在什么地方。是因为你太迷信权威了。
　　先生的“不懂就问”，意思是说谁有什么不懂的地方就向您问，您一定会给一个满意的解答。在这个问题上，我认为不懂的是您。
　　什么是有限，什么是无限，只用词典上对这个概念的的解释就当做数学上的定义是不妥的。《数学分析》给无穷大量下了定义，但在那里的定义还是不够清晰的。
　　比如“任何自然数都是有限的”，就是说“无限的自然数”是不存在的。没有无限，说有限还有什么意义，没有无限，哪里会有有限，没有“上”会有“下”吗？这样的概念本身就是不符合逻辑的。
　　有有限自然数，就要有无限自然数，有有限实数，也就应有无限实数，在无限实数中又应该有无限小正实数与无限大正实数。无限大不是最大，“最大”是不存在的。有限自然数的个数是有限的，无限大自然数的个数是无限的。
　　《数学分析》中有这样的不成文结论：无穷大是变量。
　　如果承认存在无限大实数，那么就应该有这样的结论：
　　变量可在无穷大范围内变化。
　　这样做，会把原来许多说不清的问题说得比较清楚。
　　但大多数人心里都会这样想，就凭你，还有资格提出新概念。《实数论》都有一百多年的历史了，“高智商的权威们”多得很，难道他们不比你不知要好上多少倍，他们都没这样做，你还做得了？尤其是“你半年都没看懂作者的意思”，还佩谈论《实数论》吗？
　　我的智商也可能很低，但在这里智商比我高的我还没发现(反正吹牛也不上税)。
　　白虎榜末是孙山，贤郎更在孙山外。
　　

珠穆亚纳

    本讨论很有典型意义，希望各位屏弃个人感情因素，完全以理智来指导思考，可能会有令人欣喜的结果。

不懂就问

我放弃和楼主之间的争论，继续下去对谁都没有好处。 不过这种现象值得大家思考，我称之为蒋春暄现象，蒋春暄是典型的因不懂数学而解决了几乎所有数学难题，他的水平请看资料: 【1】《黎曼假设的否定》,《发明与革新》2001年第8期http://img174.photo.163.com/mathphoto/20061919/555593637.jpg 【2】《Disproofs of Riemann';s Hypothesis》Algebras, Groups and Geometreis, Vol. 21, 2004 http://www.i-b-r.org/docs/JiangRiemann.pdf 蒋春暄论文特点: (1)曲解伟人思想，黎曼z函数ξ(s)在re(s)>1时可表示为无穷乘积形式，re(s)<=1时无穷乘积发散，蒋春暄用一个无效公式完成了伟大定律的证明。 (2)滥用极限、公式，具体看论文。 1978年数学所为蒋搞过一次鉴定，以后近30年内蒋春暄不断要求王元等为他鉴定、审稿、推荐发表论文，王元等指出论文错误之处，蒋春暄认为正确，扬言再过一千年还是真理（蒋春暄原话），双方无法妥协，继续对话王元等数学家会疯掉，我支持数学家们不看不听不评论。 本坛类似情况不少，蒋春暄可以说功成名就，其他人步其后尘也许没有他幸运！ 最后来一段蒋春暄式搞笑证明，不要当真。 定律：任何函数f(x)的值不为0（不要问我为什么，看蒋春暄论文） 证法1：中学知识a*b≠0，则a≠0、b≠0 因为 1＝f(x)*(1/f(x))≠0 则 f(x)≠0 证法2： │f(x)│+1/n≠0 取极限得│f(x)│≠0 所以f(x)≠0 （取之于文献【2】中式(34)、(35)）

battlelong

定律：任何函数f(x)的值不为0
证法1：中学知识a*b≠0，则a≠0、b≠0
      因为   1＝f(x)*(1/f(x))≠0
      则     f(x)≠0
第一处当f（x）＝0时，1＝f(x)*(1/f(x))根本不成立。所以f（x）不能代表所有函数。。。
证法2： │f(x)│+1/n≠0
取极限得│f(x)│≠0  所以f(x)≠0
对不等式两边同时取极限，极限可能相等！过程中默认取极限，不影响不等号方向。。。
这人还真强啊！！！

珠穆亚纳

本楼主题决非一般论题，能够认识到Cantor的理论有错误，这就是一个重要的论点，而且意义非凡，但是如果用Cantor的思维方式来寻找Cantor的错在哪里，犹如用自己的矛戳自己的盾，会陷入逻辑不能自恰的理论怪圈中，循着这个论点，用新的方式去审视，才有可能清晰的找到“错误的理论”之错在哪里。

zhaolu48

　　(1)定义的是
　　　A*={x∈A:x不属于A(x)}
　　因此由"若x1∈A*"，由(1)得到的是x1不属于A(X)，怎么能说是x1不属于A(x1)呢？
　　"若x1∈A*"，得到的是x1不属于A(x1)，也与A*的定义A*={x∈A:x不属于A(x)}不符啊！
　　因此不存在"会陷入逻辑不能自恰的理论怪圈中"中的问题，而是原证明本身就存在这样的错误。也就是原证明是错的。
　　指正一个证明是错的，就是找它自身存在的逻辑错误，如果自身不存在逻辑错误，那么就可认为这个证明是正确的，那么所证的命题也是真命题，否则命题是否为真，还不是定数。
　　如果"用新的方式去审视"，就如同用黎曼几何的理论去审视欧氏几何的理论一样，是没有说服力的，也就是说既不能用黎曼几何的观点否定欧氏几何，也不能用欧氏几何的观点去否定黎曼几何。
　　因此我不能同意"用新的方式去审视"康托对这个"定理"证明的错误所在。
　　使我不能理解的是：定义了
　　A*={x∈A:x不属于A(x)}
　　可是却有"若x1∈A*"，得到的不是x1不属于A(x)，却是x1不属于A(x1)；
　　我觉得就是稍懂得逻辑的数学爱好者都不会犯这样的非常明显的逻辑错误，或者说低级的逻辑错误。而这样的逻辑错误一百多年竟无人发现，或者是发现了不敢说。
　　历史上十多次对"平行公理"的"证明"所犯的逻辑错误都要比对这个"定理"的证明的逻辑错误隐晦得多。
　　为什么"几何人"对那么隐晦逻辑错误都能找出来，而"实数论人"对这样简单明显的逻辑错误却发现不了？
　　我认为主要是对平行公理进行证明的人，都不是非常著名的人，远远没达到权威的程度；而康托是实数论的奠基人与权威，谁也不相信康托会犯这样低级的逻辑错误。因此也不会对他给出的证明作认真分析与探讨。
　　因此不把康托的错误"理论"驳倒，与康托的理论相对的新的正确的观点就不可能被承认，并且那些这方面的权威还要用康托的这些错误的理论去否定新观点！
　　我原来认为我只要能作一点抛砖引玉的工作，很快就会有权威的人士注意，并为新理论的创立作出他们应有的贡献，现在看来这种可能性是很小的了。
　　我这样一个无名小卒孤军奋战还有什么意义呢？因此我现在真有点灰心了，这也是我的工作迟迟没有进展的原因。
　　因此我只有在轻闲腻了的时候，在有关数学的论坛上发表点自己的观点，发表后还要与那些自认为自己是这方面的权威的网友进行争辩，这也浪费了我很大的精力。
　　不过也对我有很大的好处，在争辩中使我的观点更加简明有力了。
　　还有使我不能理解的是，我对网友们指出的我的错误的地方，我都敢承认，并且对对方表示感谢，我的感谢是发自内心的；可是那些与我争辩的朋友，我指出他们对我的质疑的错误时，他们明知是自己错了，还要对自己的错误进行诡辩。在诡辩也被驳倒时，他们就默不作声了，从来不肯承认自己错了，当然更不肯承认你对了。这些人为什么缺少这种"磊落"的品质呢？

珠穆亚纳

     zhaolu48 先生的思考决非妄议，希望仔细思考，现在我可以公开宣布：质疑确实发现了旧理论体系的难以自圆其说的悖论，只是剖析还应该也可以继续深刻——只要思路改变一下。
    zhaolu48 先生的质疑和探索意义很重大，只不过论述方式尚可改进，深入思考，革命性的突破近在眼前。
    当然，有可能在 zhaolu48 突破重围之前，新的理论体系将全面的诞生，但是 zhaolu48 的精神将是可是书一笔的，实际上，在我的素数含量表达式的原理中，已经突破出去了。请注意仔细领会。