请高手帮忙，解一道证明题

cuses

"不用Sylow定理,证明每一个阶数为素数p的幂的群含有一个p阶元素”

wanwna

只需要证明对于任意p^n阶群(n是大于1的整数)一定可以找到一个m为小于n大于0的整数,使得该群中有p^m阶元.如此降阶,即可证明.
用反证法,假设对于某个p^n群(n为大于1的整数),找不到一个m为小于n大于0的整数,使得该群中有p^m阶元.
所以该群中所有的元素都是p^n阶元(因为每个元素的周期都是群阶的因子)
取其中一个p^n阶元,其生成循环群为原p^n阶群的一个子群,则其中一定存在一个p^(n-1)阶元.
所以假设不成立.

wanwna

这种证法不好懂。
换个简单的：
p^n阶群所有的元的周期都是p^n的约数，并且一定存在一个元的周期不是1，设为p^m.
则该元生成的p^m阶循环群是原p^n阶群的一个子群，p^m阶循环群中存在p阶元。

fleurly

利用数论的原根的存在性也可以证明

cuses

谢谢各位高手。