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[这个贴子最后由moranhuishou在 2009/10/30 09:52pm 第 5 次编辑]
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费马大定理的证明(国庆60周年版)
命题 方程
x^n+y^n=z^n
当n>2时无非0整解。
因为当n为合数时命题已被前人证明,所以本文将命题简为
x^p+y^p=z^p
当p>1为奇数时无非0整解。
化为一元方程
视上述不定方程中的三个未知数中任意两个为给定的任意整数,即可将不定方程化为一元方程。这里不妨视x,z为任意正整数,方程由三个未知数的不定方程化为了只有一个未知数y的一元方程
y^p=z^p-x^p (*)
引理
当n=p为奇数时,(*)只有一个解,即有
y=(z^p-x^p)^(1/p)
当n=m为偶数时,(*)有两个解,即有
y=+-(z^m-x^m)^(1/m)
定理的证明
考虑
y^p-(z^p-x^p)=0 ,p>1 (A)
设a为任意正整数,命题就是判定一元p次方程(A)是否可化为形式
y^p-a^p=0
假设(A)有整解成立。设x=y-r,z=y-t,代入(A),二项式展开整理,得式
y^p-p(r+t)y^(p-1)+C(p,2)(r^2-t^2)y^(p-2)-...-(r^p+t^p)=0 , (B)
(A)(B)两式是否有整解等价。
假定两式有整解y=a,对照如下:
先看(A)
当x=0时,有 y^p-(z^p-x^p)=y^p-(z^p-0^p)=y^p-a^p=0 ,
当x=z时,有 y^p-(z^p-x^p)=y^p-0^p=y^p-a^p=0 .
再看(B)
当t=0时,有 [y-(r+t)]^p=[y-(r+0)]^p=(y-a)^p=0 ,
当r=-t时,有 [y-(r+t)]^p=(y-0)^p=(y-a)^p=0.
可知,虽然两式同解,但换“元”前后两式成立的形式并不相同,(B)式是以p重根形式成立的。也就是原费马方程若有整解,对应(B)式必有
[y-(r+t)]^p=(y-a)^p=0
成立。
也就是(B)式的唯一整解式只能是
y=r+t
本命题就是判定x>0,x<>-z时(A)是否成立,也就等价于判定t>0,r<>-t时(B)是否能够化为p重根方程。
而这个判定是很容易的:
1、因为无论r t为任何整数值,均不可能有 r^2-t^2=(r+t)^2,...,r^p-t^p=(r+t)^p.
2、因为当p=1时有y=r+t,所以很容易证明当p>1时恒有y>r+t.
3、若(B)有解成立,则r,t无论为何值均成立,这显然不可能。
所以,(B)式p>1为奇数无整解,所以
大定理成立。
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