[讨论]是否存在这样的数列？

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/11 06:44pm 第 1 次编辑]


是否存在无穷实数数列{x(n)}，满足
1、x(n)=x(m)当且仅当n=m；
2、{x(n)}存在聚点；
3、{x(n)}的每个聚点，都是{x(n)}的某一项；
4、{x(n)}的每一项，都是{x(n)}的某一聚点？
  

kanyikan

不卖了？变得慷慨了？

fleurly

哈哈， 看LZ钱很多， 银行存款都好多位了

fleurly

数列也是点集，
可以把这个题目写成这样：
是否存在一个实数点集A:
2、存在A的子列,这个子列存在极限；
3、A的子列的极限，都在A中
4、对于A的任意一个元素x，都存在A的一个子列以x为极限。
另外， 还应该加一个限制： 因为题目中的数列的下标是自然数， 所以应该加上：
5.A是可数集合。
由2,3可以知道A是完备的。 因此A是闭区间或者不相交的闭区间的并集。（一个点也看作闭区间）
由4可知A是紧致的， 也就是说， A不含有孤立点。
因此说， A只能是可数个互不相交的闭区间的并集， 并且每个区间的长度大于0。
由此A是不可数集合， 基数是 c.
这跟A是可数集和的条件矛盾，
因此不存在这样的集合。

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/12 00:55pm 第 1 次编辑]

下面引用由fleurly在 2009/10/12 10:21am 发表的内容：
数列也是点集， 可以把这个题目写成这样：  是否存在一个实数点集A: 2、存在A的子列,这个子列存在极限； 3、A的子列的极限，都在A中 4、对于A的任意一个元素x，都存在A的一个子列以x为极限。  另外， 还应该加一个限制： 因为题目中的数列的下标是自然数， 所以应该加上： 5.A是可数集合。

题目肯定是可以写成这样的。
能不能写出题目的严格的证明呢？请教。

fleurly

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/12 00:54pm 发表的内容：
题目肯定是可以写成这样的。
能不能写出题目的严格的证明呢？请教。

上边的就是证明啊。 因为符合2，3，4的可数点集不存在， 所以就不存在这样的数列了
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 fleurly 在 时添加 -=-=-=-=-
数列也是点集。 如果符合那几个条件的可数点集不存在， 那么那样的数列就不存在了

FARSPACEMAN

   

FARSPACEMAN

提示，试证明{x(n)}的一部分可以和0、1间的实数建立一一对应。
  

fleurly

不用建立对应关系。 由完备性和紧致性就能得到结论

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/13 01:27pm 第 1 次编辑]

下面引用由fleurly在 2009/10/13 01:23pm 发表的内容：
不用建立对应关系。 由完备性和紧致性就能得到结论

好吧，请写出你的证明？
注意像4楼那样的描述性的语言不是证明。