求一道证明题

cuses

H 和 K是G的两个子群. 证明 |HK|=|H||K| (HK的阶数等于H的阶数乘以K的阶数) 当且仅当 H和K的交集是{e}.

wanwna

思路:
以H和K的交集是{e}为条件,
假设存在一种情况使得
|HK|!=|H||K|
于是一定有一个
h1k1=h2k2
h1!=h2
k1!=k2
于是自己来推出矛盾
而
以|HK|=|H||K|为条件
假设H和K的交集不是{e}
则H与K的公共元中除了e之外还有别的元.
于是可以推出存在不同的h1和h2,不同的k1和k2
使得h1k1=h2k2
推出矛盾
以上是思路

fleurly

难得又遇到一个学代数的

cuses

如何表达更明了？