[原创]Cantor无最大基数定理证明错误的又一举证

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2005/12/01 11:31am 第 3 次编辑]

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　　东陆论坛上万戈网友指出，帖子后面举的例子错了，即在这个例子中有的A*会不存在。他指出的很对，在这里对他表示感谢。
　　经过重新分析，
　　“从A～P(A)，对于A*∈P(A)，存在x1∈A,使得
　　　　　 f (x 1)=A* ”
　　f必须是满射才必然会存在x1∈A,  使得 f (x1)=A* ”
　　即如果“矛盾”存在，与假设f是一一映射有关。
　　但我的前一篇帖子，说明这样的矛盾是不存在的仍然成立。
　　整个这篇帖子的举证都是错的了，纯属画蛇添足。应当删除，但为了表示对已经读过此帖的读者的尊重，仍保留。

　　　　　　　　Cantor无最大基数定理证明错误的又一举证
　　这里我再从另外的方面说明这个证明的错误。
　　不妨把Cantor无最大基数定理及证明复制到下面：
　　Cantor无最大基数定理："对任何非空集A，|P(A)|>|A|(即A的幂集P(A)的基数大于A本身的基数)"的原始证明．
　　证　①作映射g:A→P(A),x→{x},令B={{x}:x∈A} P(A)，,则g:A→B为一一映射，所以A～B包含于P(A),从而|A|≤|P(A)|．
　　②证{A}≠{P(A)},即对任何映射f:A→P(A)都不可能是一一映射．用反证法，设存在一一映射f :A→P(A),x→f(x)= A(x)∈P(A),同时A(x)是A的一个子集．
　　令A*={x∈A:x不属于A(x)}                  　     (1)
从A～P(A)，对于A*∈P(A)，存在x1∈A,使得
　　　　　 f (x 1)=A*                                  (2)
　　若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f (x1)=A*；同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f (x1)= A*,都导矛盾．　　
　　反证法的矛盾都应该是从假设推出来的，不是由假设推出来的矛盾，证明不了假设是错误的。
　　那么再逐步分析一下原证明，这个"矛盾"是不是从
　　"设存在一一映射f:A→P(A),x→f(x)= A(x)∈P(A),同时A(x)是A的一个子集"推出来的。
　　"令A*={x∈A:x不属于A(x)}"　　　与f是否一一映射无关。
　　"从A～P(A)，对于A*∈P(A)，存在x1∈A,使得
　　　　　 f(x1)=A*"　　　　　　　　　与f是否一一映射无关。
　　"若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f (x1)=A*；同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f(x1)=A*,都导致矛盾．"　　
　　因此这个"矛盾"也不是由设f是一一映射导致的。
　　哪一位网友能从原证明的假设后的"证明过程"中找到与假设f是一一映射有关系的内容？
　　不是由假设f是一一映射导致的"矛盾"，因此这个“矛盾”的出现不能证明f不是一一映射。
　　比如令A={1,2,3,4}，B={{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}}，那么A到B存在24个一一映射，且B是A的幂集P(A)的一个真子集。用原证明②的方法，可证明A、B之间不存在一一映射。
　　证明．设f：A→B，x→f(x)=A(x)∈P(A)，是A到B的一个一一映射，同时A(x)是A的一个子集．
　　令A*={x∈A:x不属于A(x)}                  　     (1)
从A～P(A)，对于A*∈P(A)，存在x1∈A,使得
　　　　　 f (x 1)=A*                                  (2)
　　若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f (x1)=A*；同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f (x1)= A*,都导矛盾．
　　如果原证明是正确的，那么这个证明不也是正确的了吗？用原证明的方法居然可以把一个存在一一映射的两个集合，"证明"出这两个集合不存在一一映射。
　　那些说原证明
　　1、匡继昌的叙述没有任何问题，很简捷一个字不多。
　　2、这个证明的思路十分巧妙！精彩！
的朋友们，不要再这样空喊了。
　　还是拿出点有充分说服力的东西，把我上面对原证明为什么是错误的举证驳倒吧。
　　如果我的举证确实是错了，只是我没"自觉"而已，那么我是真的希望持反对意见的朋友给出有力的驳斥，我会感激不尽的。[/watermark]

木直清风

没人理你我来了

珠穆亚纳

木直清风 可以展示一下自己的看法，本楼主题确实很重大。

wangyangkee

俞根强，俞家的根强不强，就看你闹蠢货响亮不响亮哟，，，