请教复合函数求导法则证明中的的疑问

gaddis

在证明由函数y=f(u)与u=ψ(x)构成的复合函数y=f[ψ(x)]的求导公式dy/dx=dy/du·du/dx时,在数学分析教材的证明中都用到当△u趋于零时的无穷小量a,并需要补充义当△u=0时,a=0.
证明的关键是当△u趋于零时（包括△u=0时），a趋向于0.
疑问:证明中是把△u=0时，规定了a=0.但事实是并不能保证a这个关于三角形u的函数在△u=0这个点也是连续的吧。
换句话说，如果在△u=0这个点，a不等于0，比如等于2.那这个证明不就证明不了了么？
谢谢老师哦,请教了
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 gaddis 在 时添加 -=-=-=-=-
换言之，疑问是，为什么a(△u)这个函数可以在△u=0这个点“规定”为是连续的？

gaddis

顶起来看看哦

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/23 08:51pm 第 1 次编辑]

这个问题解答如下：

gaddis

陆教授 等式（2）确实是成立的
那句话也确实是不必要加的
但是有个问题。
就是在△x趋向于0的过程中，△u是有可能是等于0的。
而我们并不知道α在△u=0这点是否连续的
所以这样一来这个证明就有问题了。
并且，教科书中把α在△u=0这点设置为连续的，既设置为α=0，这里我觉得也不严谨吧。

所以我用了另外一个思路，就是在△u=0时，α为任一数字(这样α这个关于△u的函数在△u=0这个点有可能连续也有可能不连续)。但是这说明虽然在△u趋向于0的过程中，α虽然未必有极限，但是肯定是一个有界量。
而△x趋向于0的过程中，△u/△x存在极限。这里可以分两种情况讨论。
情况1，在△x趋向于0的过程中，△u永远不等于0.那么α就是趋向于0的无穷小量。

这个式子最右边一项为有界量α乘以△u/△x这个无穷小量。
所以式子成立

所以以上情况1和情况2，式子都是成立的。定理得证。
不知道我的想法对不对，还请陆教授指点。谢谢哦

gaddis

自己顶一下哈

luyuanhong

下面引用由gaddis在 2009/10/20 04:29pm 发表的内容：
......
所以以上情况1和情况2，式子都是成立的。定理得证。
不知道我的想法对不对，还请陆教授指点。谢谢哦

你的推导证明没有错，只是我觉得好像没有必要说得那么复杂。
正如我在第2楼中分析的那样，Δy＝f';(u)Δu+α Δu 这个式子，不管 Δu≠0 还是 Δu＝0 ，肯定都是成立的。
所以，Δy/Δx＝f';(u)Δu/Δx+α Δu/Δx 这个式子，也总是成立的。
由于 u＝φ(x) 连续，当 Δx→0 时 必有 Δu→0 ，这包括两种情况：有可能 Δu≠0 ，也有可能 Δu＝0 。
如果当 Δx→0 ， Δu→0 时有 Δu≠0 ，那么由前面的推导可知：这时必有 α→0 。
如果当 Δx→0 ， Δu→0 时有 Δu＝0 ，这时不管 α  取什么值，必有 α Δu/Δx＝0 。
所以，不管哪一种情况，当 Δx→0 ， Δu→0 时，总是有 α Δu/Δx→0 。
这样，对 Δy/Δx＝f';(u)Δu/Δx+α Δu/Δx 取 Δx→0 的极限，就很容易得到 dy/dx＝f';(u)du/dx 。

gaddis

“如果当 Δx→0 ， Δu→0 时有 Δu＝0 ，这时不管 α  取什么值，必有 α Δu/Δx＝0 。”
这里的话，似乎应该考虑“α Δu/Δx＝0”的点，即“Δu＝0”的点是有限个还是无限个。
如果是无限个，在 Δx→0 ， Δu→0 这个过程中，这无限个点的区间的分部情况。
即是否存在一个 Δx=0的去心领域，里面不存在α Δu/Δx＝0的点。
这也是我上面写那么复杂的初衷。
这样的证明，还是不能省略这些步骤的吧？
另外，其实我上面的证明，我还少考虑了一种情况。即在△u=0的点，如果α确实没有定义呢？
这个时候我考虑的是，那其实涉及到另外一种极限。也是书本上没有考虑的极限。
比如同样是趋向于x0这个点，书上的极限一定是规定或者要求这个函数在x0这个点的去心领域是有定义的，但是如果x0的任意一去心领域，都会有没有定义的点存在。那么这个函数的“极限”该如何定义呢。
本帖的证明如果要完全考虑，应该也要涉及到这方面的内容。但是这在微积分里都是没有涉及到的，所以我想是否教材的编写者考虑到学生没有接触到这方面的内容。所以在这里的证明中简化了证明的过程，但实际的证明是还需要考虑这样的可能。
一点粗浅的想法，还请陆教授指点。 ：）谢谢哦

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/23 08:52pm 第 2 次编辑]

这个证明中关键的一步，是证明当 Δx→0 时，总是有 α Δu/Δx→0 。
下面，我把这关键的一步，用 ε-δ 语言，不厌其烦地、详详细细地写出来，目的是为了让你看到：
这个推导，与在 △x=0 的去心邻域内，有没有一列无穷多个 Δu＝0 的点，其实没有什么关系。
所以，用不着特地用一段叙述，考虑在 △x=0 的去心邻域内，有一列 Δu＝0 的点的情形。

gaddis

嗯，您是对的
您的证明比我的更简洁
确实“这个推导，与在 △x=0 的去心邻域内，有没有一列无穷多个 Δu＝0 的点，其实没有什么关系。”
我想这就是一个数学家和一个学生之间的区别
对数学的敏感度不同
另外还有一个小小的疑惑，就是我在上面的回复中提到的，如果α这个函数在△u=0处是没有定义的呢？
因为上面的证明和书本的证明本质上其实都是在△u=0处把α定义为某个有限数。
但如果在△u=0处α是没有定义的，那么α Δu/Δx 这个式子也就没有了定义。
那是不是在证明本定理的时候，只要把△u=0处的这些点“挖去”不考虑就可以？
个人理解，如果在Δx =0的任一去心领域内都有没有定义的点存在，那么这个时候的极限也不受影响，因为极限表达的是一种“趋势”。
：） 一点粗浅的想法 望老师不要见笑
再次感谢老师不厌其烦的解答学生简单的问题。
在这个论坛，从老师身上学到了很多，不仅仅是数学上的知识。
再次发自内心的感谢

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/23 08:54pm 第 1 次编辑]

下面引用由gaddis在 2009/10/22 04:49pm 发表的内容：
......
另外还有一个小小的疑惑，就是我在上面的回复中提到的，如果α这个函数在△u=0处是没有定义的呢？
因为上面的证明和书本的证明本质上其实都是在△u=0处把α定义为某个有限数。
但如果在△u=0处α是没有定义的，那么α Δu/Δx 这个式子也就没有了定义。
那是不是在证明本定理的时候，只要把△u=0处的这些点“挖去”不考虑就可以？
个人理解，如果在Δx =0的任一去心领域内都有没有定义的点存在，那么这个时候的极限也不受影响，因为极限表达的是一种“趋势”。
：） 一点粗浅的想法 望老师不要见笑
...

我们可以看到，在这个证明中，不管当 Δu＝0 时 α 取什么值，对我们的证明其实都没有影响。
但是，当 Δu＝0 时，在 α 并没有给予定义的情况下，我们的式子中就用到了 α ，严格说来，确实有些问题。
我想，这就是为什么许多教材中要补充说一段“在 Δu＝0 时定义 α＝0”的话的原因。
另外，你说：“如果在 Δx =0 的任一去心邻域内都有没有定义的点存在，那么这个时候的极限也不受影响”。
这种说法，我过去没有听到有人说过，也没有在任何书上看到过，但是我想，这种说法还是很有道理的。