【趣题征解】x>0,y>0,z>0的充分必要条件

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/21 09:50pm 第 1 次编辑]

[color=#FF0000]【趣题征解】求证：x>0,y>0,z>0的充分必要条件是x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0。    

bardo

如果：x>0,y>0,z>0 则：
(x+y)(y+z)(z+x)+xyz>0
而
(x+y+z)(xy+yz+zx)=(x+y)(y+z)(z+x)+xyz
所以，必须有：
x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0。

drc2000

您的题目似乎隐含着x,y,z∈R的条件。
正数的和与积均为正数,故充分性是显然的.
但是必要性却一定要用到这个隐含条件.
若不然,由:
a+b+c>0
ab+bc+ca=ab+(a+b)c>0
abc>0
却得不到a,b,c>0
事实上,由
x+y+z=8>0
xy+yz+zx=22>0
xyz=20>0
不能够得出a,b,c>0
得到的却是:
a=3+i，b=3-i，c=2.
既如此,我看,还是直接点明这个隐含的条件为好.
祝开心~[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 drc2000 在 时添加 -=-=-=-=-
字母x,y,z......
真晕,我很多地方用成了a,b,c...
对不起哈.
补足x,y,z∈R后，证明不难的。

luyuanhong

下面是我对此题的解答：

drc2000

我的证明复杂点。 已知x,y,z∈R，求证：x,y,z>0的充要条件是x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0。 证：充分性显然。 必要性：当xyz>0时,因为x,y,z∈R,故a,b,c中必为三正数,或两负一正. 若a,b,c为两负一正,不妨设a<0,b<0,c>0 因为a+b+c>0,所以c>-(a+b)>0 所以:ab+bc+ca=ab+(a+b)c 0矛盾. 故必有a,b,c>0

fleurly

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/21 09:49pm 发表的内容：
【趣题征解】求证：x>0,y>0,z>0的充分必要条件是x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0。 &#160; &#160;

这个题目等价于
t^3 - at^2 + bt - c = 0;
这个方程的三个根都是正数的充要条件是 a>0, b>0, c>0

fleurly

下面引用由luyuanhong在 2009/10/22 00:21pm 发表的内容：
下面是我对此题的解答：

我觉得可以这样更简单点：
由xyz>0可知x,y,z中必有一个是正数 ， 不妨设为x >0,
故有 y,z 都是负数， 或者y,z都是正数

FARSPACEMAN

下面引用由drc2000在 2009/10/22 02:00am 发表的内容：
您的题目似乎隐含着x,y,z∈R的条件。

drc2000的意见非常好，非常正确！

FARSPACEMAN

下面引用由drc2000在 2009/10/22 00:56pm 发表的内容：
我的证明复杂点。
已知x,y,z∈R，求证：x,y,z>0的充要条件是x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0。
证：充分性显然。
    必要性：当xyz>0时,因为x,y,z∈R,故a,b,c中必为三正数,或两负一正.
...

必要性和充分性弄反了。

FARSPACEMAN

下面引用由luyuanhong在 2009/10/22 00:21pm 发表的内容：
下面是我对此题的解答：

陆老师的证明非常好。本题是对3个实数而言的；陆老师充分性的证明可以容易地推广到n个实数的情况，于是对n个实数相应的结论也成立。