关于投影问题

hejialun

Let P be a parallelogram in R3. Let P1 be its projection on the yz-plane,
P2 be its projection on the xz-plane, and P3 be its projection on the
xy-plane. Show that
(area(P))^2 = (area(P1))^2 + (area(P2))^2 + (area(P3))^2

dodonaomik

我单单翻译一下吧！
p在三维坐标系中投影到yz坐标系上为   p1，  xz坐标系上为p2,  xy坐标系上为p3.
证明：面积p的平方=面积p2的平方   +面积p2的平方   +面积p3的平方[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 dodonaomik 在 时添加 -=-=-=-=-
p为平行四边形！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 dodonaomik 在 时添加 -=-=-=-=-
纠正错误后应该是这样的：
证明：面积p的平方=面积p1的平方   +面积p2的平方   +面积p3的平方

dodonaomik

p为平行四边形！在三维坐标系中投影到yz坐标系上为   p1，  xz坐标系上为p2,  xy坐标系上为p3.
证明：面积p的平方=面积p1的平方   +面积p2的平方   +面积p3的平方

dodonaomik

这道题目，觉得颇有美感！！！   希望大侠出来解答一哈！

luyuanhong

这个结论确实很美，下面是它的证明：
（容易看出，这结论还可以进一步推广，不一定要是平行四边形，对任何一个平面封闭图形，这结论都是成立的。
这个结论，还可以进一步推广到 4 维、5 维、… 、任何维空间中的任何维图形，可以称为“广义勾股弦定理”）

hejialun

谢谢两位高手鼎力相助。。。！！！！

luyuanhong

下面是“ n 维单纯形的求积公式”和“广义勾股弦定理”的推导证明以及一些应用的例子：