[原创]在限制范围n前形如（P,P+2k)的素数对数目问题

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/11/15 08:46am 第 2 次编辑]

[watermark]在x+y=2n中，假设x,y为素数，n为大于等于3的自然数，则对于任何一个n值方程必有一组解。按数学学科语言说：就是歌德巴赫猜想问题。
对于任何一个大于或等于2的自然数T而言，有这样的定理：这里有T类自然数，如果去掉Tn类数，用其余的(T-1)类数做和（2元加法运算），则新合成数有1/(T-1)的数能整除T,其余(T-1)类数，任何一类占新合成数的(T-2)/(T-1)^2.这只是一个单条件T。如果是多条件，则合成规律，即新合成数每类所占比例是有所有条件共同作用的结果，符合概率论中的独立条件概率规则。即符合多条件的数是单条件比例的积。
例如，x+y=200,这里x,y不能整除3，4.求方程符合条件的正整数解的组数。
我们先用上面提出的定理（可以证明）：条件3，能整除的占1/（3-1）=50%，这里的200不能整除3，所以它占新合成数的（3-2）/（3-1）^2=1/4=25%.这里有2个条件3，4；其合成比例为1/4和1/（4-1），它们的积为1/4*1/3=1/12.这就是说，200在条件3，4的限制下，其合成比例为1/12；另外给出所有这类题型的一个近似值公式求法：在2元m个条件下，方程的符合条件的正整数解的组数=调节系数*范围内符合条件的元素个数^2/范围值。这里的调节系数是条件T(称周期更合适，在数论中好像是模值）*合成比值，这里的条件为3，4；其比值为1/4，1/3.有（3*1/4）*（4*1/3）=1，其双条件的调节系数为1.在范围值200以内有16个周期，每个周期内有6个元素，在加上192-200之间的4个元素，共有100个元素符合条件，所以为：1*100^2/200=50组符合条件的解。
如果按林梦启的解决办法为各周期的组合法*整周期方法的加权值。下面为各周期的组合法
n值→第一周期→第二周期→
1→0→2→
2→1→1→
3→2→2→
4→1→2→
5→0→2→
6→2→2→
7→2→0→
8→2→1→
9→2→2→
10→1→1→
11→2→0→
12→6→0→
这里的总周期为12，200/12=16又8/12。即16个整周期，其真分子为8，8所对应的周期方法（即分子的合成方法为2（第一周期），1（第二周期）；有计数原理可得限定条件的2元不定方程的解为2*C(16+2-1,2-1)+1*(16-1+2-1,2-1)=2*17+1*16=50.这里没有误差。
如果用以前我解决问题方法，用待定系数法。设其解为aT+b.在统计出2周内的实际个数，代入数值后得到a,b的值。
最笨的方法就是统计法，它只适用于处理小量数据，如果处理大量数据，此方法行不通。
扯的太远了，离题了。言归正传，素数域中减法问题，即两个素数差为某一个定值的组数数目（当然要有范围）。
定理对于任何一个自然数T来说，如果去掉Tn类，留下其余类做（2元）减法运算，则新合成数中，能整除T的占1/（T-1),不能整除的其余各类各占新合成数的(T-2)/(T-1)^2.在这一点上与加法合成规律是一致的。
这里设范围值为n,范围内的两个素数差为2k,则特征值2k在n内有：调节系数*(范围值-2k)内符合条件的元素个数^2/(范围值-2k),这里的范围值要远远大于特征值。
当k等于1时，就是孪生素数的求法，k等于2时就是公差为4的素数群的求法，....。
这里仍然可以采用求偶数的素数对方法。不过，这里的范围值要减特征值才是要求的素数个数，不是特征就是范围值，在歌德巴赫猜想中，特征值与范围值一致。
举例说明，在10000000内有多少组素数对其差值为2，4，6，....，30呢？
最少合成数的调节系数为2*0.6601618，而6，12，18，24为它的2倍，14，28的为它的（7-1）/（7-2）=1.2倍，10，20的为它的（5-1）/（5-2）=4/3，.....，30的为它的（5-1）/（5-2）*（3-1）/（3-2）=8/3。而实际的最小调节系数为：2*3*5*....*17*19*1*（3-2）/（3-1）^2*(5-2)/(5-1)^2*.....*(19-2)/(19-1)^2=1.334733455.
一般来说，实际组合数目在极限调节系数与范围值的调节系数之间。
[/watermark]

fleurly

前几天老李说了个“整数域”
这里又来了个“素数域”
素数集合不是域

白新岭

MOD(n,12)→→公式
1→→2t-2
2→→2t-1
3→→4t-2
4→→3t-2
5→→2t-2
6→→4t-2
7→→2t
8→→3t-1
9→→4t-2
10→→2t-1
11→→2t
0→→6t
这是主楼提到的一个例子求组数公式，某个n值所对应的公式，是n对于12的余数所对应的公式。t的求法是：t=INT((n+11)/12).
上边200相对于12的余数是8，t=INT((200+11)/12)=17,代入余数8对应的公式为：3*17-1=50.这样无论用通用公式，还是林梦启介绍的分步计数方法，还是用待定系数法求出公式再求答案，都得到一样的结果。

熊一兵

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=7951&start=12&show=0&man=

下面引用由熊一兵在 2009/11/06 02:12pm 发表的内容：
可以单独研究偶数N对2倍素数P 的余数N mod 2P问题,

白新岭

在10240230内的一些数据：
序号→差偶数→统计值→1.33473345526942→参考范围→素数个数→理论计算大→与统计差→1.32032368979475→理论计算小→与实际差→
1→2→60235→1.33473345526942→10240230→679473→60176→-59→1.32032368979475→59527→708→
2→4→59826→1.33473345526942→10240228→679472→60176→350→1.32032368979475→59526→300→
3→6→119580→2.66946691053885→10240226→679472→120353→773→2.64064737958951→119054→526→
4→8→59867→1.33473345526942→10240224→679472→60176→309→1.32032368979475→59527→340→
5→10→79833→1.7796446070259→10240222→679472→80235→402→1.760431586393→79369→464→
6→12→119881→2.66946691053885→10240220→679472→120353→472→2.64064737958951→119054→827→
7→14→71913→1.60168014632331→10240218→679472→72212→299→1.5843884277537→71432→481→
8→16→59836→1.33473345526942→10240216→679472→60176→340→1.32032368979475→59527→309→
9→18→119912→2.66946691053885→10240214→679472→120353→441→2.64064737958951→119054→858→
10→20→79849→1.7796446070259→10240212→679472→80235→386→1.760431586393→79369→480→
11→22→66652→1.48303717252158→10240210→679471→66862→210→1.46702632199417→66141→511→
12→24→119770→2.66946691053885→10240208→679471→120353→583→2.64064737958951→119053→717→
13→26→65533→1.45607286029392→10240206→679470→65647→114→1.44035311613973→64938→595→
14→28→71871→1.60168014632331→10240204→679470→72211→340→1.5843884277537→71432→439→
15→30→159758→3.5592892140518→10240202→679470→160470→712→3.52086317278601→158738→1020→
16→32→59754→1.33473345526942→10240200→679470→60176→422→1.32032368979475→59526→228→
17→34→63926→1.42371568562072→10240198→679470→64188→262→1.4083452691144→63495→431→
18→36→120514→2.66946691053885→10240196→679470→120352→-162→2.64064737958951→119053→1461→
19→38→63405→1.41324718793233→10240194→679470→63716→311→1.39798978919444→63028→377→
20→40→79911→1.7796446070259→10240192→679470→80235→324→1.760431586393→79369→542→
21→42→143747→3.20336029264662→10240190→679470→144423→676→3.16877685550741→142864→883→
22→44→66608→1.48303717252158→10240188→679470→66862→254→1.46702632199417→66140→468→
23→46→62605→1.39829219123464→10240186→679470→63042→437→1.38319624645165→62361→244→
24→48→119723→2.66946691053885→10240184→679470→120353→630→2.64064737958951→119053→670→
25→50→79911→1.7796446070259→10240182→679470→80235→324→1.760431586393→79369→542→
26→52→65483→1.45607286029392→10240180→679470→65647→164→1.44035311613973→64938→545→
27→54→119879→2.66946691053885→10240178→679470→120353→474→2.64064737958951→119053→826→
28→56→71657→1.60168014632331→10240176→679470→72211→554→1.5843884277537→71432→225→
29→58→61907→1.38416802768681→10240174→679470→62405→498→1.36922456719456→61731→176→
30→60→159461→3.5592892140518→10240172→679470→160471→1010→3.52086317278601→158738→723→
31→62→61890→1.38075874683044→10240170→679470→62251→361→1.36585209289112→61579→311→
32→64→59835→1.33473345526942→10240168→679469→60176→341→1.32032368979475→59526→309→
33→66→133081→2.96607434504317→10240166→679469→133725→644→2.93405264398834→132281→800→
34→68→63767→1.42371568562072→10240164→679469→64188→421→1.4083452691144→63495→272→
35→70→95721→2.13557352843108→10240162→679468→96282→561→2.1125179036716→95242→479→
36→72→119701→2.66946691053885→10240160→679468→120352→651→2.64064737958951→119053→648→
37→74→61596→1.37286869684855→10240158→679467→61895→299→1.35804722378889→61227→369→
38→76→63510→1.41324718793233→10240156→679467→63715→205→1.39798978919444→63028→482→
39→78→130652→2.91214572058784→10240154→679467→131293→641→2.88070623227946→129876→776→
40→80→80083→1.7796446070259→10240152→679467→80234→151→1.760431586393→79368→715→
41→82→61335→1.36895739001992→10240150→679467→61719→384→1.35417814337923→61052→283→
42→84→143700→3.20336029264662→10240148→679467→144422→722→3.16877685550741→142863→837→
43→86→61361→1.36728792978819→10240146→679467→61643→282→1.35252670661901→60978→383→
44→88→66551→1.48303717252158→10240144→679467→66862→311→1.46702632199417→66140→411→
45→90→159976→3.5592892140518→10240142→679467→160470→494→3.52086317278601→158737→1239→
46→92→62873→1.39829219123464→10240140→679466→63041→168→1.38319624645165→62361→512→
47→94→61375→1.36439419871986→10240138→679466→61513→138→1.34966421623464→60849→526→
48→96→119704→2.66946691053885→10240136→679466→120352→648→2.64064737958951→119052→652→
49→98→71603→1.60168014632331→10240134→679466→72211→608→1.5843884277537→71431→172→
50→100→79893→1.7796446070259→10240132→679466→80234→341→1.760431586393→79368→525→
51→102→127940→2.84743137124144→10240130→679466→128375→435→2.81669053822881→126989→951→
52→104→65432→1.45607286029392→10240128→679466→65646→214→1.44035311613973→64938→494→
53→106→61135→1.36090469949039→10240126→679465→61355→220→1.34621238959465→60693→442→
54→108→119531→2.66946691053885→10240124→679465→120352→821→2.64064737958951→119052→479→
55→110→88497→1.97738289669544→10240122→679464→89149→652→1.95603509599223→88186→311→
56→112→71827→1.60168014632331→10240120→679463→72210→383→1.5843884277537→71431→396→
57→114→126868→2.82649437586466→10240118→679463→127430→562→2.79597957838889→126055→813→
58→116→61978→1.38416802768681→10240116→679463→62404→426→1.36922456719456→61730→248→
59→118→60908→1.35814983167766→10240114→679463→61231→323→1.34348726329992→60570→338→
60→120→159788→3.5592892140518→10240112→679463→160468→680→3.52086317278601→158736→1052→
61→122→60829→1.35735605620619→10240110→679463→61195→366→1.34270205741839→60535→294→
62→124→61893→1.38075874683044→10240108→679463→62250→357→1.36585209289112→61578→315→
63→126→143949→3.20336029264662→10240106→679463→144421→472→3.16877685550741→142862→1087→
64→128→59863→1.33473345526942→10240104→679463→60175→312→1.32032368979475→59526→337→
65→130→86993→1.94143048039189→10240102→679463→87528→535→1.92047082151964→86583→410→
66→132→133029→2.96607434504317→10240100→679463→133724→695→2.93405264398834→132280→749→
67→134→60786→1.35526781611972→10240098→679463→61101→315→1.34063636194544→60441→345→
68→136→63562→1.42371568562072→10240096→679463→64187→625→1.4083452691144→63494→68→
69→138→125300→2.79658438246927→10240094→679463→126082→782→2.76639249290329→124721→579→
70→140→95634→2.13557352843108→10240092→679463→96281→647→2.1125179036716→95241→393→
71→142→60785→1.35407741838927→10240090→679463→61047→262→1.33945881573381→60388→397→
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161→322→75273→1.67795062948156→10239910→679454→75648→375→1.65983549574197→74832→441→
162→324→120048→2.66946691053885→10239908→679454→120350→302→2.64064737958951→119051→997→
163→326→60370→1.34302372517793→10239906→679453→60548→178→1.32852445805435→59895→475→
164→328→61548→1.36895739001992→10239904→679453→61718→170→1.35417814337923→61051→497→
165→330→177278→3.95476579339089→10239902→679453→178296→1018→3.91207019198445→176372→906→
166→332→60794→1.35121164607522→10239900→679453→60918→124→1.33662398226135→60260→534→
167→334→60410→1.34282274893772→10239898→679453→60539→129→1.32832565155108→59886→524→
168→336→143677→3.20336029264662→10239896→679453→144420→743→3.16877685550741→142861→816→
169→338→65427→1.45607286029392→10239894→679453→65645→218→1.44035311613973→64937→490→
170→340→84876→1.89828758082763→10239892→679453→85582→706→1.87779369215254→84658→218→
171→342→126708→2.82649437586466→10239890→679453→127429→721→2.79597957838889→126054→654→
172→344→61395→1.36728792978819→10239888→679453→61642→247→1.35252670661901→60977→418→
173→346→60234→1.34253891407217→10239886→679453→60527→293→1.32804488096314→59873→361→
174→348→124196→2.76833605537362→10239884→679453→124808→612→2.73844913438912→123460→736→
175→350→95566→2.13557352843108→10239882→679453→96280→714→2.1125179036716→95241→325→
176→352→66448→1.48303717252158→10239880→679452→66861→413→1.46702632199417→66139→309→
177→354→122072→2.71629966335532→10239878→679452→122461→389→2.68697452659985→121139→933→
178→356→60627→1.3500752191231→10239876→679452→60866→239→1.33549982416021→60209→418→
179→358→60263→1.34227432224835→10239874→679452→60515→252→1.3277831456693→59861→402→
180→360→159416→3.5592892140518→10239872→679452→160467→1051→3.52086317278601→158734→682→
181→362→60205→1.34219006675138→10239870→679452→60511→306→1.32769979979361→59858→347→
182→364→78487→1.7472874323527→10239868→679451→78774→287→1.72842373936768→77924→563→
183→366→121965→2.71471211241239→10239866→679451→122389→424→2.68540411483679→121068→897→
184→368→62771→1.39829219123464→10239864→679451→63040→269→1.38319624645165→62359→412→
185→370→82160→1.83049159579807→10239862→679451→82525→365→1.81072963171852→81634→526→
186→372→124277→2.76151749366088→10239860→679451→124500→223→2.73170418578225→123156→1121→
187→374→70820→1.58190631735636→10239858→679451→71318→498→1.56482807679378→70548→272→
188→376→61285→1.36439419871986→10239856→679451→61512→227→1.34966421623464→60848→437→
189→378→143457→3.20336029264662→10239854→679451→144420→963→3.16877685550741→142861→596→
190→380→84386→1.88432958390978→10239852→679451→84953→567→1.86398638559259→84035→351→
191→382→60147→1.34179553704334→10239850→679450→60493→346→1.3273095294233→59840→307→
192→384→119830→2.66946691053885→10239848→679450→120349→519→2.64064737958951→119050→780→
193→386→60237→1.34172158854309→10239846→679449→60489→252→1.32723637927012→59836→401→
194→388→60620→1.34878328111437→10239844→679449→60808→188→1.33422183389786→60151→469→
195→390→174351→3.88286096078378→10239842→679449→175054→703→3.84094164303928→173164→1187→
196→392→71723→1.60168014632331→10239840→679449→72209→486→1.5843884277537→71430→293→
197→394→60253→1.34157824221952→10239838→679448→60483→230→1.32709458051165→59830→423→
198→396→132978→2.96607434504317→10239836→679448→133721→743→2.93405264398834→132277→701→
199→398→60196→1.34150875199668→10239834→679448→60480→284→1.32702584050437→59827→369→
200→400→79807→1.7796446070259→10239832→679448→80232→425→1.760431586393→79366→441→
201→402→121362→2.71053563223945→10239830→679448→122201→839→2.68127272389088→120881→481→
202→404→60570→1.34821561138326→10239828→679447→60782→212→1.33366029272197→60126→444→
203→406→74479→1.66100163322417→10239826→679447→74883→404→1.64306948063347→74075→404→
204→408→127601→2.84743137124144→10239824→679447→128372→771→2.81669053822881→126986→615→
205→410→82052→1.82527652002656→10239822→679447→82290→238→1.80557085783898→81401→651→
206→412→60347→1.34794863799486→10239820→679447→60770→423→1.3333962015749→60114→233→
207→414→125233→2.79658438246927→10239818→679447→126080→847→2.76639249290329→124719→514→
208→416→65375→1.45607286029392→10239816→679447→65645→270→1.44035311613973→64936→439→
209→418→70416→1.57027465325815→10239814→679447→70793→377→1.55332198799383→70029→387→
210→420→191750→4.27114705686216→10239812→679447→192558→808→4.22503580734321→190480→1270→
211→422→60197→1.3411197397444→10239810→679447→60462→265→1.32664102802344→59809→388→
212→424→61076→1.36090469949039→10239808→679447→61354→278→1.34621238959465→60692→384→
213→426→121683→2.70815483677854→10239806→679447→122093→410→2.67891763146761→120775→908→
214→428→60443→1.34744520246247→10239804→679447→60747→304→1.33289820112613→60091→352→
215→430→81818→1.82305057305092→10239802→679447→82189→371→1.80336894215869→81302→516→
216→432→119639→2.66946691053885→10239800→679447→120349→710→2.64064737958951→119050→589→
217→434→74453→1.65691049619653→10239798→679447→74699→246→1.63902251146935→73893→560→
218→436→60484→1.3472075997112→10239796→679447→60737→253→1.33266316353115→60081→403→
219→438→121470→2.7070650360394→10239794→679447→122044→574→2.67783959620344→120727→743→
220→440→88437→1.97738289669544→10239792→679447→89147→710→1.95603509599223→88185→252→
221→442→69566→1.55314438431351→10239790→679447→70021→455→1.53637665721571→69265→301→
222→444→123411→2.7457373936971→10239788→679447→123788→377→2.71609444757778→122451→960→
223→446→60212→1.34077297316657→10239786→679447→60447→235→1.32629800513319→59794→418→
224→448→71862→1.60168014632331→10239784→679447→72209→347→1.5843884277537→71430→432→
225→450→159678→3.5592892140518→10239782→679447→160466→788→3.52086317278601→158733→945→

白新岭

上楼给出了10240230范围内的两个素数差的统计结果和2组理论计算方法数据。
第一列为序号列，统计和分析了225个偶数（其素数差为2，4，6，....，450）。
第二列为偶数，第三列为统计数据（实际值）。第四列是以从条件2到19的最小调节系数，其最小调节系数=2*3*5*7*11*13*17*19*1*（3-2）/（3-1）^2*(5-2)/(5-1)^2*.....*(17-2)/(17-1)^2*(19-2)/(19-1)^2=1.33473345526942,然后再乘大小合成比例比值，即能整除的特征值的调节系数=1.33473345526942*（P-1)/(P-2),例如6，能整除3，所以要*（3-1）/（3-2）=2*1.33473345526942，其余的一样，都要做相应的处理。
理论计算方法1=调节系数（即第四列值）*素数个数^2/参考范围（即第五列值），然后取整即可，用此种方法计算出来的值大都比实际值要多（只有2的和36的不属于此）。
第二种计算方法是用极限系数作为基础系数，即2*孪生素数常数，其它的一样，计算结果比实际值都小。
两种方法计算出来的平均值是非常接近实际值的。
当范围扩大时，上边2的偏差得到改变。

白新岭

下面引用由fleurly在 2009/11/06 04:22pm 发表的内容：
前几天老李说了个“整数域”
这里又来了个“素数域”
素数集合不是域

或许吧，在正规数学用语中“域”是有特殊含义的，在数论中，群，环，域是有严格区别的。这里的“域”说成某种集合更为妥当，即除1和本身外不能被其他自然数整除的自然数所构成的集合。

白新岭

下面引用由熊一兵在 2009/11/06 04:28pm 发表的内容：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=7951&start=12&show=0&man=

这里引出的命题与歌德巴赫猜想命题基本上等价。处理方法也大同小异。多了一个参考范围值。在歌猜中，特征值与范围值是同一个数，这里的特征值与范围值是两个数。对于任何特征值，任意范围内可以分析研究，不一定单独考虑n对2倍素数的余数问题。如果，仅考虑连续两个素数的差，问题要复杂的多；研究某范围内所有素数的差分配问题与歌猜的研究一样有难度。
在就是，如果把减法中的素数扩充到负素数时，情况如何呢？

白新岭

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素数差→间隔0→间隔1→间隔2→间隔3→间隔4→间隔5→间隔6→2千万内
2→47893→0→0→0→0→0→0→47893
4→47944→0→0→0→0→0→0→47944
6→83126→12545→0→0→0→0→0→95671
8→36024→11457→562→0→0→0→0→48043
10→46315→16650→1117→0→0→0→0→64082
12→57332→33333→5028→167→0→0→0→95860
14→31057→21887→4470→224→0→0→0→57638
16→22579→19679→5236→447→14→0→0→47955
18→40458→40663→13281→1649→49→0→0→96100
20→20997→27353→12734→2532→190→5→0→63811
22→18147→22702→10224→1885→134→0→0→53092
24→26240→40139→22567→6084→752→29→0→95811
26→12059→21029→13984→4428→758→52→1→52311
28→13133→23118→15544→5042→785→60→2→57684
30→22280→46601→38515→16132→3677→440→23→127668
这是对10240230---20150130内的两个素数差的统计数据。间隔i,意思是说在两个参与运算的素数之间的素数个数。例如，间隔0，是连续两个素数的差；间隔3是指两个参与运算的素数之间有3个素数。差值为30的两个素数，最多可以跨越7个素数，连参与运算的2个素数，就是连续9个素数的素数链。因为在此区间没有这样的素数链，所以未对间隔7的做统计。
最后，列标题2千万内是指10240230至20150130之间的素数范围内。前边已公布了10240230以前的素数差的分布情况（从2到450的，仅是2元素数差的很少部分的统计结果，和用2种不同调节系数的计算数值）。

白新岭

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素数差→间隔0→间隔1→间隔2→间隔3→间隔4→间隔5→间隔6→3千万内
2→45032→0→0→0→0→0→0→45032
4→45089→0→0→0→0→0→0→45089
6→78771→11414→0→0→0→0→0→90185
8→34245→10482→475→0→0→0→0→45202
10→43881→15242→935→0→0→0→0→60058
12→54999→30774→4452→140→0→0→0→90365
14→29545→20336→3916→209→0→0→0→54006
16→22140→18203→4687→359→9→0→0→45398
18→39021→37770→11823→1358→39→0→0→90011
20→20501→25976→11522→2086→125→3→0→60213
22→17571→21537→9269→1603→113→0→0→50093
24→26072→37700→20702→5299→582→22→0→90377
26→12077→19825→12815→3890→604→40→2→49253
28→12818→21802→13992→4485→672→54→1→53824
30→22145→44958→35767→14208→3117→322→18→120535
这是20150130到30060030的统计数据。也就是说在20150130至30060030之间的素数差，值为2的有45032，值为4的有45089，.......，值为30的有120535.
统计，罗列这些数据对解决问题是有帮助的。最起码可以验证理论值相关程度。