证明数学分析中的一个结论

zjiannanbjtu · 发表于 2009-11-12 21:48

证明如果f(x,y)是定义在区域D连续的2元函数且二阶导数恒等于零，在边界L上f(x,y)=0,那么在区域D上f(x,y)恒等于零

luckylucky · 发表于 2009-11-13 01:37

如果不为0。则一阶存在一个区域有正负转变的情况。此时二阶不为0。或者。如果二阶为0。则一阶为常数。则只有恒0。或单调两种。条件去除了单调。

luyuanhong · 发表于 2009-11-13 15:15

此题证明如下：

zhaolu48 · 发表于 2009-11-13 15:32

1980年后基本没再看《数学分析》。
看了陆老师的证明，收获颇丰！

zjiannanbjtu · 发表于 2009-11-16 13:01

若将f(x,y)的二阶偏导数恒等于零改为二阶偏导数的和等于零，结论仍然成立，如何证明？

luyuanhong · 发表于 2009-11-17 17:57

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/11/17 06:05pm 第 1 次编辑]

下面引用由zjiannanbjtu在 2009/11/16 01:01pm 发表的内容：
若将f(x,y)的二阶偏导数恒等于零改为二阶偏导数的和等于零，结论仍然成立，如何证明？

二阶偏导数的和等于零的函数称为“调和函数”，调和函数必定在区域的边界上取到最大值和最小值，所以上述结论可证明如下：

luckylucky · 发表于 2009-11-17 23:19

呵呵。第一眼看5楼的问题。理解成了二阶偏导在范围内的积分为0 了。

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